Физика Кинематика примеры решения задач

Задача

Определить напряженность электрического поля E(x) на оси равномерно заряженного кольца радиуса R. Заряд кольца q, x – расстояние от центра кольца.

Решение:

При решении задачи воспользуемся принципом суперпозиции. Для этого разобьём кольцо на элементы – точечные заряды Dq, каждый из которых создает в точке А напряженность

.

Вследствие симметрии задачи вклад в общую напряженность дадут лишь вертикальные составляющие DЕ^ (сравните со случаем задачи 6.1). Поэтому напряженность в точке А будет определятся только суммой DЕ^ по всем элементам кольца:

Зависимость проекции Ex на ось Х вектора напряжённости представлена на графике. Видно, что на малых расстояниях от центра кольца эта зависимость линейная, на больших – обратно пропорциональна квадрату расстояния (кольцо “становится” точечным зарядом). Направлен вектор E вдоль оси Х.

Задача

Определить напряженность электрического поля Е на оси тонкого равномерно заряженного диска радиуса R. Поверхностная плотность заряда диска равна s.

Решение:

При решении этой задачи воспользуемся также принципом суперпозиции. Для этого диск разбивается на кольца радиуса r и шириной dr. Тогда для напряженности поля такого кольца dE(x) можно записать (см. задачу 6.3):

где dq =s×dS = s×2prdr. Выражение для напряженности поля диска получается интегрированием dE по всем значениям r от 0 до R:

.

Нетрудно видеть, что при R ® ¥ получается выражение для напряженности поля бесконечной плоскости: Е = s/2e0.

Задача

Определить напряженность поля E(r) внутри шара радиуса R, объемная плотность заряда которого r(r)=ar1/2, где a – коэффициент пропорциональности, r – расстояние от центра шара, диэлектрическая проницаемость материала шара e.

Решение:

Исходя из радиальной симметрии электрического поля, выберем замкнутую поверхность S – сферу с центром, совпадающим с центром шара и с радиусом r < R. В силу радиальной симметрии электрического поля легко рассчитать:

.

Сумма зарядов, оказавшихся внутри поверхности S равна:

,

Согласно теореме Гаусса, можно записать:

 откуда 

 


Электростатика примеры решения задач