Контрольная по математике. Вычисление пределов и функций

Элементы теории множеств Понятие "множество" – неопределяемое понятие. Под множеством понимается "набор", "коллекция", "совокупность" и т.п. отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Предметы или объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Операции над множествами названиями похожи на арифметические операции, но существенно другие.

Доказать, что . РЕШЕНИЕ. Два множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.

Множество всех четных чисел  эквивалентно множеству . В самом деле, отображение (правило)  устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами  и .

Не всякое бесконечное множество является счетным

Некоторые понятия и операции математической логики

Если  – истинное высказывание, то высказывание не  построится так:  или , т.е.  – ложное.

Для описания области истинности предиката используют кванторы

Всякая теорема в математике состоит из разъяснительной части (описания тех объектов, о которых идет речь в теореме) и связанных между собой высказываний. Под теоремой понимают всегда истинное высказывание. Теоремы часто формулируют в виде импликаций вида .

Обратная противоположная теорема

Свойтва числовых множеств

Предел и непрерывность функции одной переменной Понятие предела функции  при , стремящемся к  (сокр. ), является основным понятием математического анализа. Оно характеризует поведение функции  вблизи точки , т.е. существование предела и его значение определяют локальное свойство

В определении предела значение функции в точке   не участвует, поэтому функция   в точке  может быть не определена (не задана).

Для удобства изучения и геометрического представления последовательности обычно переобозначают   и последовательность  изображают точками на числовой оси.

Числовая последовательность – множество значений функции, определенной на множестве всех натуральных чисел, записанное в порядке возрастания , т.е. .

Показать по определению . . Показать .

Показать, что  не существует.

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей при   конечный предел

Теорема о переходе к пределу в равенстве Контрпример. Пусть , , тогда .

Но сумма функций может быть представлена слагаемыми (неоднозначно), например в виде  и , и пределы слагаемых при  не являются конечными числами (не существуют).

Первый замечательный предел .

Сравниваем две б\м при  функции и устанавливаем их эквивалентность .

Односторонние пределы

Второй замечательный предел .

Непрерывность функции в точке

Непрерывная в точке функция локально ограничена. Арифметические операции: сложение, разность и произведение конечного множества непрерывных в одной и той же точке функций – определяют функцию, непрерывную в той же точке. Деление непрерывных функций определяет непрерывную функцию в любой точке, кроме нулей знаменателя.

Непрерывность функции на множестве Функция , , называется непрерывной на множестве , или говорят, что функция   принадлежит множеству всех функций, непрерывных на множестве  (сокр. ), если она непрерывна в каждой точке множества .

Теорема Вейерштрасса