Контрольная по математике. Вычисление производной и интеграла

Векторная алгебра
и аналитическая геометрия
Практикум по решению задач
Математика примеры решения задач
Контрольная по математике
Элементы теории множеств.

Множества высших мощностей.

Кванторы
Математические теоремы
Действительные числа
Предел функции одной переменной.
Гиперболические функции.
Определение последовательности и её предела.
Скалярное и векторное поле
Предел функции.
Непосредственное вычисление пределов.
Раскрытие неопределённостей
Непрерывность рациональных функций:
Классификация точек разрыва
точки разрыва первого рода
Определение производной функции
Производная обратной функции
Примеры вычисления производной.
Основные правила дифференцирования
Производные функций, заданных параметрически и неявно.
Формула Лейбница.
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Коши
Формула Тейлора
Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора
Условие постоянства функции
Условия монотонности функции
Точки перегиба.
Асимптоты графика функции
Комплексные числа
Многочлены с комплексными коэффициентами
Вычисление площади криволинейной трапеции
Формула Ньютона-Лейбница.
Обыкновенные дифференциальные
уравнения
Теория линейных уравнений.
Двойной интеграл
Найти общее решение уравнения
Тройной интеграл
Несобственные кратные интегралы
Криволинейные интегралы
Формула Грина
Механические и физические приложения поверхностного интеграла 1-го рода.
Поверхностные интегралы
Скалярное поле
Дивергенция векторного поля
Теория вероятности
Функция комплексной переменной
Дифференцируемость функции комплексной переменной
Интеграл от ФКП
Периодические функции
Обращение преобразования Лапласа
Задача Коши
Соленоидальное векторное поле
Оператор Лапласа
Необходимый признак сходимости ряда
Решение задач по физике примеры
Общие свойства гармонических колебаний.
второй закон динамики
Задачи для самостоятельного решения
параметры затухающих колебаний
Переменный ток.
Волны
Плотность потока энергии
Интерференция света
Наблюдение интерференции с помощью бипризмы
Дифракция света
Построение векторных диаграмм при дифракции Френеля
Дифракция на щели
Угловая дисперсия
Поляризация света
Курс лекций по физике
Закон сохранения импульса
Кинетическая энергия и работа
Потенциальная энергия
Полная механическая энергия
Гравитация Законы Кеплера
Формула Циолковского
Момент инерции
Механические колебания
Гармонический осциллятор
Принцип относительности Галилея
Преобразования Лоренца
Математический маятник
Машиностроительное черчение
Дуга сопряжения
Построение внешнего сопряжения
Аксонометрическая проекция
сечения
разрезы
Варианты индивидуальных заданий
Резьба на чертежах
крепёжные  изделия
соединения сварные, паяные, клеевые, заклёпочные
Ручная  электродуговая сварка
Выполнение чертежей в AutoCAD
Инженерная графика
Геометрический аппарат проецирования
Основные геометрические фигуры
плоские и пространственные кривые
Метод концентрических сфер
Основные задачи преобразования
Способ прямоугольного треугольника
Физика Кинематика
примеры решения задач
Динамика движения твердого тела
Работа силы
Кинетическая энергия
Элементы гидродинамики
Электростатика
Принцип суперпозиции
Поверхностная плотность заряда
Потенциал поля точечного заряда
Энергия электростатического поля
Правила Кирхгофа
закон Ома
Сила Ампера
магнитное поле
Энергия магнитного поля
Методика расчёта линейных
электрических цепей переменного
тока
История дизайна
История абстрактного искусства
Послевоенное абстрактное искусство в России
Абстрактное  искусство как явление культуры
Историческое  развитие абстрактного метода в живописи
Символическая тенденция в абстрактном искусстве
супрематизм
западное абстрактное искусство
Американский абстрактный экспрессионизм
Стиль АРТДЕКО
Фовизм
Супрематизм К. Малевича
Конструктивная живопись
Живописный рельеф
реальности и абстракции
Экология энергетики
Анализ работы электрофильтров
Ядерные взрывы
Методы и технологии очистки дымовых газов
Регенеративные методы
Ядерное топливо
Радиоактивные вещества, образующиеся при работе АЭС.
Математическое моделирование экологических систем
Информационное описание экосистем
Локальные компьютерные сети
Определение локальных сетей и их топология
Среды передачи информации
Пакеты, протоколы и методы управления обменом
Уровни сетевой архитектуры
Стандартные локальные сети
Защита информации в локальных сетях
Алгоритмы сети Ethernet/Fast Ethernet
Стандартные сегменты Ethernet и Fast Ethernet
Оборудование Ethernet и Fast Ethernet
Выбор конфигурации сетей Ethernet и Fast Ethernet
Проектирование сети Ethernet и Fast Ethernet
Подключение к глобальным сетям с помощью модемов
Базы данных
Беспроводная связь
Новые возможности мобильного Internet
Стандарты беспроводной связи
Технологии передачи сообщений

Вопросы и ответы

 

Производная функции в точке

Показать по определению дифференцируемость функции  в произвольной точке

Правила дифференцирования.

Производная обратной функции Понятие ОБРАТИМОСТИ функции относится к свойствам функции на множестве (глобальное свойство). Будем рассматривать функцию , ; здесь  – область задания функции:  – множество значений функции.

Формулы производных конкретных функций

Вычислить производную функции  на ОДЗ. РЕШЕНИЕ. Можно дифференцировать последовательно: сначала логарифмированную функцию, затем по формулам производной дроби и произведения. На проще сначала выражение прологарифмировать, а затем уже дифференцировать.

Теорема Ферма

Теорема Лагранжа

Правило Лопиталя не является универсальным, оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .

Разложить функцию  в окрестности точки , взяв . РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Маклорена при .

Исследование функции и построение ее графика

ТЕОРЕМА (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Неопределенный интеграл Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например, задача об определении закона прямолинейного движения  материальной точки по заданной ее скорости . Решение сформулированной задачи основано на понятии первообразной функции.

Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции

Вычислить интеграл .

Сведение исходного интеграла к табличному тесно связано с операцией подведения функции под знак дифференциала: . Функция  – какая-то первообразная для  и ее подбирают, используя формулы дифференцирования и правила дифференцирования.

Вычислить . РЕШЕНИЕ. Снова выбор табличного интеграла, к которому попытаемся свести интеграл , проведем по структуре подынтегрального выражения. Оно представляет собой дробь, знаменатель которой содержит квадратный корень разности положительного числа  и квадрата функции – .

Интегрирование тригонометрических функций вида

Вычислить .

Эффективность метода интегрирования по частям определяется умением правильно определить, для каких интегралов применима формула (*) и как наиболее рационально расчленить подынтегральное выражение  на произведение , т.е. как выбрать функции  и , чтобы идея интегрирования по частям была осуществлена.

Приведем некоторые рекомендации такого выбора. Вычислить , .

Вычислить , применяя интегрирование по частям,  – число, .

Метод замены переменной (интегрирование подстановкой)

Иногда по структуре подынтегрального выражения удается догадаться не о самой подстановке , а о виде функции  – обратной для  – с тем, чтобы свести исходный интеграл к одному из табличных интегралов.

Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) определяется формулой ,

Способы отыскания введенных здесь и пока неизвестных коэффициентов, объединенные названием "Метод неопределенных коэффициентов", покажем на конкретных примерах. ПРИМЕР 1. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь .

Вычислить .

Интегрирование с помощью рационализации подынтегральных выражений

Вычислить .

Интеграл от функции , где , ,  и  – постоянные,   – целое положительное число, рационализируется подстановкой .