Примеры решения задач контрольной работы по математике

Векторная алгебра
и аналитическая геометрия
Практикум по решению задач
Математика примеры решения задач
Контрольная по математике
Элементы теории множеств.

Множества высших мощностей.

Кванторы
Математические теоремы
Действительные числа
Предел функции одной переменной.
Гиперболические функции.
Определение последовательности и её предела.
Скалярное и векторное поле
Предел функции.
Непосредственное вычисление пределов.
Раскрытие неопределённостей
Непрерывность рациональных функций:
Классификация точек разрыва
точки разрыва первого рода
Определение производной функции
Производная обратной функции
Примеры вычисления производной.
Основные правила дифференцирования
Производные функций, заданных параметрически и неявно.
Формула Лейбница.
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Коши
Формула Тейлора
Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора
Условие постоянства функции
Условия монотонности функции
Точки перегиба.
Асимптоты графика функции
Комплексные числа
Многочлены с комплексными коэффициентами
Вычисление площади криволинейной трапеции
Формула Ньютона-Лейбница.
Обыкновенные дифференциальные
уравнения
Теория линейных уравнений.
Двойной интеграл
Найти общее решение уравнения
Тройной интеграл
Несобственные кратные интегралы
Криволинейные интегралы
Формула Грина
Механические и физические приложения поверхностного интеграла 1-го рода.
Поверхностные интегралы
Скалярное поле
Дивергенция векторного поля
Теория вероятности
Функция комплексной переменной
Дифференцируемость функции комплексной переменной
Интеграл от ФКП
Периодические функции
Обращение преобразования Лапласа
Задача Коши
Соленоидальное векторное поле
Оператор Лапласа
Необходимый признак сходимости ряда
Решение задач по физике примеры
Общие свойства гармонических колебаний.
второй закон динамики
Задачи для самостоятельного решения
параметры затухающих колебаний
Переменный ток.
Волны
Плотность потока энергии
Интерференция света
Наблюдение интерференции с помощью бипризмы
Дифракция света
Построение векторных диаграмм при дифракции Френеля
Дифракция на щели
Угловая дисперсия
Поляризация света
Курс лекций по физике
Закон сохранения импульса
Кинетическая энергия и работа
Потенциальная энергия
Полная механическая энергия
Гравитация Законы Кеплера
Формула Циолковского
Момент инерции
Механические колебания
Гармонический осциллятор
Принцип относительности Галилея
Преобразования Лоренца
Математический маятник
Машиностроительное черчение
Дуга сопряжения
Построение внешнего сопряжения
Аксонометрическая проекция
сечения
разрезы
Варианты индивидуальных заданий
Резьба на чертежах
крепёжные  изделия
соединения сварные, паяные, клеевые, заклёпочные
Ручная  электродуговая сварка
Выполнение чертежей в AutoCAD
Инженерная графика
Геометрический аппарат проецирования
Основные геометрические фигуры
плоские и пространственные кривые
Метод концентрических сфер
Основные задачи преобразования
Способ прямоугольного треугольника
Физика Кинематика
примеры решения задач
Динамика движения твердого тела
Работа силы
Кинетическая энергия
Элементы гидродинамики
Электростатика
Принцип суперпозиции
Поверхностная плотность заряда
Потенциал поля точечного заряда
Энергия электростатического поля
Правила Кирхгофа
закон Ома
Сила Ампера
магнитное поле
Энергия магнитного поля
Методика расчёта линейных
электрических цепей переменного
тока
История дизайна
История абстрактного искусства
Послевоенное абстрактное искусство в России
Абстрактное  искусство как явление культуры
Историческое  развитие абстрактного метода в живописи
Символическая тенденция в абстрактном искусстве
супрематизм
западное абстрактное искусство
Американский абстрактный экспрессионизм
Стиль АРТДЕКО
Фовизм
Супрематизм К. Малевича
Конструктивная живопись
Живописный рельеф
реальности и абстракции
Экология энергетики
Анализ работы электрофильтров
Ядерные взрывы
Методы и технологии очистки дымовых газов
Регенеративные методы
Ядерное топливо
Радиоактивные вещества, образующиеся при работе АЭС.
Математическое моделирование экологических систем
Информационное описание экосистем
Локальные компьютерные сети
Определение локальных сетей и их топология
Среды передачи информации
Пакеты, протоколы и методы управления обменом
Уровни сетевой архитектуры
Стандартные локальные сети
Защита информации в локальных сетях
Алгоритмы сети Ethernet/Fast Ethernet
Стандартные сегменты Ethernet и Fast Ethernet
Оборудование Ethernet и Fast Ethernet
Выбор конфигурации сетей Ethernet и Fast Ethernet
Проектирование сети Ethernet и Fast Ethernet
Подключение к глобальным сетям с помощью модемов
Базы данных
Беспроводная связь
Новые возможности мобильного Internet
Стандарты беспроводной связи
Технологии передачи сообщений

Вопросы и ответы

 

Пример Изобразить область интегрирования и изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Пример Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность в каждой её точке .

Вычисление криволинейного интеграла II рода.

Пример Применив формулу Грина, вычислить , где L – контур треугольника ОАВ с вершинами в точках О(0, 0), А(1, 0), В(0, 2) (пробегаемый в положительном направлении) и подынтегральные функции

Пример Найти

Пример . Найти интеграл .

Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, и неправильной, если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе.

Пример Найти интеграл Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Разложим знаменатель на множители:

Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегралы вида

Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида , где R – рациональная функция своих аргументов .

Пример Найти интеграл . Решение. Преобразуя произведение двух сомножителей по приведенным формулам, получим

Замена переменной в определенном интеграле. При вычислении определенных интегралов в некоторых случаях используется прием замены переменной или подстановки.

Интегрирование по частям. Для определенного интеграла имеет место формула интегрирования по частям

Пример Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой  и прямой .

Вычисление длины дуги плоской кривой . Если плоская кривая задана уравнением на отрезке  и функция непрерывно дифференцируема на отрезке , то длина соответствующей дуги этой кривой равна:

Вычисление интегралов с бесконечными пределами от непрерывных функций

Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций

Неопределенный интеграл. Пример. Найти неопределенный интеграл, значит вспомнить таблицу производных , свойства неопределенного интеграла, свойства дифференциала, сообразить как выглядит первообразная. и записать совокупность первообразных

Метод подстановки (замены переменных). Метод замены переменной обобщает рассмотренные выше примеры. Существует две формулы замены переменной в неопределенном интеграле

Интегрирование элементарных дробей

Интегрирование рациональных дробей. Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов

Подстановки Эйлера. (1707-1783) Если а>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой .

Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции. К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими. Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле Пример. Изменить порядок интегрирования

Несобственный интеграл 1-го рода. Пример. Исследовать сходимость интеграла .

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.

Задачи. Используя определение, вычислить интеграл или установить его расходимость. .

Исследовать сходимость интеграла. .

Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость. .

. Решение. Имеем . Поэтому точка  не является особой точкой подынтегральной функции. Значит, интеграл  является несобственным интегралом 1-го рода.

Задача . Установить, собственным или несобственным является интеграл; если он несобственный, то исследовать его сходимость. .

Задача. Получить рекуррентную формулу для интеграла  и вычислить его. .