Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Интегрирование по частям.

Для определенного интеграла имеет место формула интегрирования по частям:

, (2.4.1)

где  и - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке   .

Пример 2.4.1. Вычислить

Решение. Положим , тогда . Следовательно,

Пример 2.4.2. Вычислить

Решение. Положим , , тогда . Применив к интегралу формулу интегрирования по частям, получим:

.

Пример 2.4.3. Вычислить .

Решение. Положим , .

Тогда , , .

Применив повторно формулу интегрирования по частям, полагая , . Тогда

Перенесем слагаемое, содержащее интеграл, в левую часть уравнения

Отсюда .

 

Приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

На основании геометрического смысла определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми  и  и отрезком  оси OX (рис. 3.1), вычисляется по формуле:

. (3.1.1)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и   для  и прямыми ,  (рис. 3.2), вычисляется по формуле:

 (3.1.2)

  

Если кривая задана параметрическими уравнениями , , так что , а , то площадь фигуры, ограниченной этой кривой и прямыми , , , вычислить по формуле:

 (3.1.3)

Если область ограничена кривой, заданной в полярных координатах уравнением , и двумя полярными лучами  и  (рис. 3.3), то ее площадь выражается интегралом

 (3.1.4)

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле