Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Пример Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой   и прямой .

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой, решив систему уравнений.

.

Как видно из рис. 3.4, заданная фигура ограничена снизу параболой , сверху прямой  и проектируется на ось ОХ в отрезок . Следовательно, искомая площадь вычисляется по формуле (3.1.2):

.

  

Пример 3.1.2. вычислить площадь области, ограниченной астроидой:

, .

Решение. Граница области, заданная параметрическими уравнениями , , представляет замкнутую кривую (рис. 3.5). при движении вдоль этой кривой параметр t изменяется от 0 до . Заданная фигура состоит из четырех равновеликих частей. Составим интеграл площади той фигуры, которая находится в первой четверти, что соответствует изменению абсцисс точек области от 0 до .

Пределы изменения параметра t определяется из уравнений:

   

Тогда, по формуле (3.1.3) имеем

, .

Пример 3.1.3. Вычислить площадь области, ограниченной кривой: .

Решение. Исследуем вопрос, при каких значениях угла  в интервале от 0 до   существуют точки на границе указанной области. Правая часть уравнения  должна быть неотрицательной. Следовательно, при значениях , для которых , мы получаем все множество граничных точек области.

Решая неравенство , находим интервалы изменения угла :

; ; ; .

Граница области представляет замкнутую самопересекающуюся кривую, состоящую из 4 лепестков (рис. 3.6), а сама область складывается из 4 равновеликих фигур. Составим интеграл площади фигуры, ограниченной лепестком, для которого угол изменяется в пределах от  до . По формуле (3.1.4) получим

.

Тогда: .

Задачи для самостоятельного решения.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой  и параболой .

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом:  , .

Найти площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда , .

Ответы.

1.  2.  3.

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле