Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.

Рассмотрим функцию , заданную в конечном промежутке , но неопределенную в этом промежутке.

Предположим, что функция имеет бесконечный разрыв в точке  и непрерывна всюду при .

Определение. Несобственным интегралом от неограниченной функции на промежутке от до   называют конечный или бесконечный предел интеграла  при  .

Этот предел обозначают так: 

. (4.2.1)

Если этот предел существует и конечен, то интеграл называют сходящимся. В противном случае расходится.

Если особая точка  функции является внутренней точкой отрезка , то по определению полагают:

. (4.2.2)

В этом случае несобственный интеграл называют сходящимся, если существуют и конечны оба предела в правой части равенства.

Пример 4.2.1. Вычислить, если это возможно, .

Решение. Подынтегральная функция неограниченна в окрестностях точки , так как  при .

Подынтегральная функция непрерывна всюду на отрезке , , следовательно, существует определенный интеграл.

Вычислим его:

.

Рассмотрим предел этого интеграла при .

.

Следовательно, несобственный интеграл от неограниченной функции сходится по определению и .

Пример 4.2.2. Вычислить, если это возможно, .

Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке , являющейся внутренней точкой отрезка интегрирования. Поэтому подставим интеграл в виде суммы двух интегралов:

.

Несобственный интеграл  имеет особенность на верхнем пределе, а   - на нижнем пределе. Если  и  сходятся, то сходится задний предел.

По определению несобственного интеграла особой точкой внутри промежутка интегрирования имеем:

.

Пример Исследовать сходимость интеграла  в зависимости от параметра .

Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке , если . При подынтегральная функция непрерывна всюду  на отрезке , и интеграл является определенным интегралом в собственном смысле.

Рассмотрим случай и вычислим .

Если , то  и , т.е. конечен, а следовательно, интеграл сходится по определению. Если ,

и 

в этом случае интеграл  расходится.

Если , то , и интеграл также расходится.

Следовательно, интеграл сходится при  и расходится при .

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле