Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Пример Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность в каждой её точке .

Решение. Область интегрирования D ограничена прямой и параболой (или  – это парабола с вершиной в точке (0, -1), симметричная относительно оси Oy, ветви направлены вверх). Найдем координаты точек пересечения прямой и параболы. Для этого решим систему:

Сделаем чертеж области D.

Масса неоднородной пластины D с поверхностной плотностью  вычисляется по формуле

.

В нашем случае .

Чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле надо спроецировать область D на ось Ох. Получится отрезок [-2; 1]. Этим определяются нижний предел -2 и верхний предел 1 изменения переменной х во внешнем интеграле. Затем на отрезке [-2; 1] оси Ох выбираем произвольную точку х, через которую проводим луч, параллельный оси Оу в ее направлении. Нижним пределом будет значение переменной у из уравнения той линии в которую луч вошел (), а верхним – значение переменной y из уравнения той линии из которой луч вышел ( или ).

=.

Считая при вычислении внутреннего интеграла х постоянной, имеем

==

Итак, масса неоднородной пластины D, ограниченной линиями , с поверхностной плотностью в каждой её точке равна 19,8.

Пример2.1. Вычислить массу m дуги окружности , лежащей в первой четверти, если плотность в каждой её точке .

Решение. Масса m дуги  с плотностью в каждой её точке  вычисляется по формуле

Из уравнения окружности выразим у:и найдём

  .

Тогда   =

Дуга окружности , лежащая в первой четверти, находится между точками . Тогда масса

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле