Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Интегрирование рациональных дробей.

 Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

 Теорема: Если  - правильная рациональная дробь (m<l), знаменатель Pl(x) которой (напомним, что любой многочлен с действительными коэффициентами имеет корни действительные и комплексные, которые могут быть простые и кратные, число корней равно порядку многочлена) может быть представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей

 Pl(x) = (x - a)a…(x - b)b(x2 + px + q)l…(x2 + rx + s)m ), то эта дробь может быть разложена на сумму простых дробей по следующей схеме:

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины, общее число этих постоянных равно порядку многочлена.

 При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

 Пример 26.

Т.к. (, то

Приводим к общему знаменателю в правой части и из условия равенства дробей ,

приравниваем соответствующие числители

Выделяем в левой части коэффициенты при соответствующих степенях и из условия равенства многочленов

получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов А,В,С,D

 

 

  

Итого: =

 

Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Интеграл вида .

 Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью универсальной подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

Тогда 

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

 Пример 27.

 Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

 Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

 Пример 28.

Интеграл вида  если

функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

 

Функция  может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

 Пример 29.

 Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида  если

функция R является нечетной относительно sinx.

 По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда

 Пример 30.

Интеграл вида

функция R четная относительно sinx и cosx.

 Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка t = tgx.

Тогда

 Пример 31.

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле