Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

 К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

 Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

 Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

 Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

 - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))

 - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

 - интегральный логарифм

 - приводится к интегральному логарифму

 - интегральный синус

 - интегральный косинус

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , если областью интегрирования σ является треугольник, ограниченный прямыми y=0, x=2, y= (см. рис.3).

Решение. Если при вычислении двойного интеграла пользоваться формулой (3), то здесь (x)=0,   (так как точка входа лежит на оси 0x, а точка выхода - на прямой ); a=0, b=2.

Поэтому, применяя формулу (3),

имеем

 .

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным: .

Следовательно, .

Применяя для вычисления двойного интеграла  формулу (4), получим, конечно, тот же результат. Замечая, что в этом случае  (так как точка входа лежит на прямой  или x=2y, а точка выхода на прямой x=2), c=0, d=1, получим .

Так как

,

то  

Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования σ ограниченна линиями x=0, y=x,  9 (см. рис.4).

Рис. 4

Решение. Применим для вычисления двойного интеграла формулу (3). Здесь , , a=0, b=1. поэтому .

Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным: .

Следовательно,

.

Если при вычислении двойного интеграла  пользоваться формулой (4), то придется область интегрирования σ разбить на две части  и , так как линия ОАВ, на которой расположены точки выхода на отдельных участках, задается различными уравнениями. По свойству аддитивности .

Применяем формулу (4) к каждому из интегралов, стоящих в правой части последнего равенства: , так как , , c=0, d=1.

Вычисляем внутренний интеграл, помня, что y-постоянно:

.

Следовательно, .

Аналогично находим , так как , , с=1, d=2.

.

Следовательно, .

Таким образом, окончательно, .

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле