Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Несобственный интеграл 1-го рода.

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла .

Решение.

а). Имеем

 .

Отсюда следует, что  сходится при  и расходится при .

б). Тогда

Таким образом, интеграл I (1) расходится.

Ответ: интеграл  сходится при  и расходится при .

Пример 2. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. Имеем

 - не существует.

Ответ: интеграл  расходится.

Аналогично интегралу  определяются следующие интегралы:

, (2)

, (3)

причем интеграл в левой части (3) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла в правой части (3)

Несобственный интеграл 2-го рода.

Пример 3. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. а) . Имеем

Отсюда следует, что интеграл  сходится при  и расходится при .

 б) .

Таким образом, интеграл  расходится.

Ответ: интеграл  сходится при  и расходится при .

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле