Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.

Задачи. Используя определение, вычислить интеграл или установить его расходимость.

а) .

Решение. Интеграл  является несобственным интегралом 1-го рода. Поэтому

 (1)

Для вычисления интеграла  применяем формулу интегрирования по частям:

. (2)

Подставляя (2) в (1), получим

.

Ответ: .

б) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода. Имеем

.

Отсюда следует

Ответ: интеграл  расходится.

в) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка подынтегральной функции . Поэтому

.

Ответ: .

г) .

Решение. Интеграл  является несобственным интегралом 2-го рода, особая точка  - находится внутри отрезка интегрирования. Тогда

.

Для сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы сходились оба интеграла  и .

Рассмотрим интеграл . Имеем

.

Отсюда получаем, что интеграл  расходится. Итак, независимо от поведения интеграла  интеграл  расходится.

Ответ: интеграл  расходится.

д) .

Решение. В интеграле  область интегрирования - бесконечный промежуток ; кроме того, подынтегральная функция имеет особую точку . Поэтому интеграл  разбиваем на сумму несобственных интегралов 1-го и 2-го рода:

. (3)

Имеем

. (4)

Таким образом, используя (4), получим

. (5)

. (6)

Подставляя (5) и (6) в (3), получим

.

Ответ: .

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле