Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Криволинейный интеграл II рода.

Вычисление криволинейного интеграла II рода.

Вычисление КРИ-2 сводится к вычислению определенного интеграла с помощью уравнения пути интегрирования (уравнения кривой ).

1) Если кривая L по которой вычисляется КРИ-2, задана параметрическими уравнениями

 где параметр t изменяется на дуге  от t=α до t=β, а функции x(t), y(t) непрерывны вместе со своими первыми производными, то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

=

Замечание. Если  кривая в пространстве, то  и функции  – функции трех независимых переменных, определенные в каждой точке кривой LАВ, то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

=+

+

2) Если кривая L задана на плоскости xOy явно уравнением, где функция  непрерывна вместе со своей производной. Представим  в виде , тогда КРИ-2 вычисляется по формуле

=.

Замечание. Если кривая L задана уравнением , то КРИ-2 вычисляется по формуле

=

Пример2.2.Вычислить работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль одного витка винтовой линии , т.е. от точки A(1, 0, 0) до точки

B(1, 0, 4).

Решение. Работа А силового поля

вдоль линии L вычисляется по формуле

, где

Находим

.

 т.к.  и

Тогда работа А силового поля  вдоль одного витка винтовой линии вычисляется по формуле

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле