Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Задача . Установить, собственным или несобственным является интеграл; если он несобственный, то исследовать его сходимость.

а) .

Решение. Предполагаемая особая точка . Имеем

. Таким образом,

. (25)

Очевидно, что в некоторой окрестности точки  функция  имеет производные любого порядка. Так как . То из (25) следует, что либо интеграл   несобственный и он сходится (см. пример 3), либо точка  не является особой точкой функции  и она интегрируема в смысле Римана, т.е. интеграл  собственный.

Так как , то, используя правило Лопиталя, имеем

.

Напомним, что в некоторой окрестности точки  функция  непрерывна, и значит, ограничена. Следовательно, точка  не является особой точкой подынтегральной функции.

Ответ: интеграл  собственный.

б) .

Решение.  - предполагаемая особая точка. Имеем

. (26)

Функцию  разложим по формуле Маклорена:

. (27)

Обозначим . Тогда . Отсюда  (проверить) и

. (28)

Используя формулу (28), получим

.

Отсюда и из формулы (27) следует

. (29)

Из формул (26) и (29) имеем , что дает нам (см. пример 3)

Ответ: интеграл  несобственный и он сходится.

в) .

Решение. Используя формулу (29), имеем

.

Отсюда и из примера 3 следует

Ответ: интеграл  несобственный и он расходится.

г) .

Решение. Предполагаемая особая точка .

Обозначим , здесь . Функция  определена при . Так как , то, полагая

,

получим непрерывную функцию (даже имеющую производные любого порядка - проверить). Разлагая  по формуле Маклорена, получим

.

Учитывая, что , отсюда получим . Тогда . Значит,

.

Отсюда следует

Ответ: интеграл  несобственный и он сходится.

д) .

Решение. Очевидно, что интеграл  несобственный интеграл 1-го рода. Остается выяснить, сходится ли он. Имеем . Так как 

, то отсюда получим , что дает нам

Ответ: интеграл  несобственный и он сходится.

е) .

Решение. Предполагаемая особая точка . Сделаем замену переменной . Получим

. (30)

Учитывая, что , получим

. Отсюда

. (31)

 Из (30) и (31) следует

Ответ: интеграл  является собственным.

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле