Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Пример Применив формулу Грина, вычислить , где L – контур треугольника ОАВ с вершинами в точках О(0, 0), А(1, 0), В(0, 2) (пробегаемый в положительном направлении) и подынтегральные функции

Решение. Построим контур L на координатной плоскости:

 

Составим уравнение прямой АВ, используя формулу

уравнения прямой по двум точкам . Имеем

Найдём частные производные 

Тогда по формуле Грина имеем

где D – треугольник ОАВ. Вычислим двойной интеграл.

Вычисление интегралов путем непосредственного использования табличных интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример 1.1.3. Найти

Решение. Используя свойства 4 и 5 и, применяя формулы 7, 2, 10, 1, получим

Пример 1.1.4. Найти

Решение. Используя тригонометрическую формулу

, свойство 5 и применяя формулы 8, 1, получим

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле