Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Пример Найти

Решение. Произведя почленное деление и применяя свойства 4, 5 и формулы 11, 14, получим

Пример 1.1.6. Найти

Решение. Произведя почленное деление и применяя свойство 5 и формулу 4, получим

Замечание. При вычислении отдельных интегралов нет надобности писать после каждого слагаемого произвольную постоянную, так как сумма произвольных постоянных есть также произвольная постоянная.

Введем вместо х новую переменную t, связанную с х соотношением , где  – непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную проиводную , тогда справедлива формула

Формула (1.2.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. При замене переменной весьма часто бывает выгоднее задавать не х как функцию t, а наоборот, задавать t как функцию х в виде .

Пример 1.2.1. Найти интеграл

Решение. Полагая =t, имеем

Тогда по формуле (1.2.1)

.

Возвращаясь к переменной х, окончательно получим

.

Пример 1.2.2. Найти интеграл

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим . Отсюда  и

Пример 1.2.3. Найти интеграл

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим . Тогда .

Следовательно,

.

Пример 1.2.4. Найти интеграл

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим .

Следовательно,

Пример 1.2.5. Найти интеграл .

Решение. Полагая  и дифференцируя обе части равенства, получим . Тогда .

Следовательно, .

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле