Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, и неправильной, если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе.

Например, дроби  – неправильные, а дроби  – правильные.

Если рациональная дробь является неправильной, то, разделив по правилу деления многочленов многочлен P(x) на многочлен Q(x), можно всегда выделить целую часть (т.е. многочлен) и представить такую дробь в виде:

 где  - многочлен и  – правильная рациональная дробь.

Например,

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.

Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех типов:

 (k>1– натуральное число)

 где дискриминант квадратного трехчлена , т.е.  не имеет действительных корней.

 (k>1 – натуральное число, , где A, B, a, p, q – действительные числа

Таким образом, для интегрирования правильных рациональных дробей достаточно уметь:

интегрировать простейшие дроби;

разлагать правильные рациональные дроби на простейшие.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов.

В знаменателе подынтегральной функции выделим полный квадрат:

Введем обозначение  и применим замену переменной, полагая . Отсюда

Следовательно,

Заменяя t и a их выражениями, получим

Пример 1.4.1. Найти

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат

Сделаем подстановку  Тогда

Теперь выясним, каким образом любая правильная дробь может быть разложена на простейшие дроби. В этом разложении существенное значение имеет разложение знаменателя дроби Q(x) на произведение линейных и квадратичных множителей с отрицательным дискриминантом. Рассмотрим некоторые случаи.

Знаменатель разлагается на неповторяющиеся множители первой степени . В этом случае дробь  разлагается на сумму простейших дробей I типа.

 где A, B, …, M – неопределенные (неизвестные) коэффициенты. Например,

Знаменатель разлагается на множители первой степени, среди которых есть повторяющиеся.

Например,

В этом случае дробь  разлагается на сумму простейших дробей I и II типов.

 где A, B1, B2, …, Bn, C – неопределенные (неизвестные) коэффициенты. Например,

Знаменатель разлагается на неповторяющиеся множители второй степени с отрицательным дискриминантом, возможно, множители первой степени.

Например,

В этом случае дробь  разлагается на сумму простейших дробей 1, 2, 3 типов.

, где A, B, C, D, E – неопределенные коэффициенты.

Для нахождения неопределенных коэффициентов необходимо все простейшие дроби привести к общему знаменателю и числитель дроби (полученный от сложения простейших дробей) приравнять к числителю . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества, получим систему линейных уравнений для определения коэффициентов.

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле