Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Пример 1.4.2. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Разложим знаменатель на множители:  В этом случае подынтегральная дробь раскладывается на простейшие следующим образом:

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получим следующую систему уравнений:

Решая ее, найдем

Следовательно, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид:

Окончательно имеем

Пример 1.4.3. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, поэтому выделим целую часть делением числителя на знаменатель. В результате имеем:

Полученную справа правильную дробь разложим на простейшие дроби:

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получим следующую систему уравнений:

Решая эту систему, находим

Следовательно,

Имеем

Пример 1.4.4. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь, знаменатель которой разложен на множители.

Представим дробь в виде суммы простейших дробей.

Приводя правую часть полученного равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

 или

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получим следующую систему уравнений:

Решая эту систему, находим

Следовательно,

Таким образом,

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле