Математика примеры решения задач Контрольная по математике Обыкновенные дифференциальные уравнения Теория вероятности Функция комплексной переменной Решение задач по физике примеры

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Интегралы вида

Такие интегралы в результате выделения полного квадрата из квадратного трехчлена  и линейной подстановки приводятся к табличным интегралам 13 или 14.

Пример 1.5.1. Найти интеграл

Решение. Выделяя полный квадрат, получим

С помощью замены переменной  и  данный интеграл приводится к табличному

Пример 1.5.2. Найти интеграл

Решение. Имеем

Сделаем замену переменной

Тогда

Интегралы вида

Такие интегралы в результате выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и дальнейшей линейной подстановки приводятся к интегралам вида

Интеграл  можно представить в виде суммы двух табличных интегралов.

Пример 1.5.3. Найти интеграл

Решение. Выделяя полный квадрат в подкоренном выражении, получим

Сделаем замену переменной

Тогда

Рассмотрим

Сделаем замену , тогда

Следовательно,

Окончательно получим

Интегралы вида

Интегралы данного вида с помощью подстановки  приводятся к интегралам, рассмотренным выше.

Пример 1.5.4. Найти интеграл

Решение. Полагаем , тогда. Следовательно,

 Интегралы вида , где R – рациональная функция своих аргументов; m, n, …, r, s – целые числа.

С помощью подстановки , где k – наименьшее общее кратное чисел n, …, s, указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции аргумента t.

Пример 1.5.5. Найти интеграл

Решение. В данном примере x входит в подынтегральную функцию с дробными показателями  и . Поэтому сделаем подстановку , откуда .

Следовательно,

 Так как подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, поэтому выделим ее целую часть делением числителя на знаменатель.

Следовательно,

Возвращаясь к переменной x, имеем .

Поэтому

 Интегралы вида , где R – рациональная функция; m, n, …, r, s – целые числа.

 С помощью подстановки , где k – наименьшее общее кратное чисел n, …, s, данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции аргумента t.

Пример 1.5.6. Найти интеграл

Решение. Сделаем замену . Тогда  и .

Следовательно,

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле