Обыкновенные дифференциальные уравнения

Теория линейных уравнений.

 14.5.1. Общие понятия.

 Опр. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

.  (19)

 Если старший коэффициент q0 (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е.  для , то, умножая (19) на , приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:

  (20)

; дальше мы будем рассматривать уравнение (20).

 Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f(x)=0 при ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида

 . (21)

Задача Коши для уравнений (20) и (21) ставится также, как и для общего уравнения n-го порядка (17) : требуется найти решение уравнения (20) или (21), удовлетворяющее начальным условиям

  (22)

где y0, y1, y2, …, yn-1 - заданные числа. Для уравнения (17) теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции   и её производных ; если привести (20) к виду (17): ,

то . Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций f(x) и pi(x), i = 1, 2, …, n. Далее, вывод теоремы Коши для уравнения (17) заключался в том, что найдётся окрестность точки x0, в которой существует однозначно определённое решение задачи Коши; для линейных уравнений (20) и (21) вывод более глобален: единственное решение существует на всём интервале (a, b), на котором выполняются условия теоремы: [an error occurred while processing this directive]

  Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f(x), pi(x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x0 - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий (22) существует единственная функция y(x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению (20) и начальным условиям (22).

 Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально.


Двойной и тройной интеграл примеры решения задач