Функция комплексной переменной

Интегрирование функций комплексной переменной.

Интегральная теорема Коши.

 19.6.1. Интеграл от ФКП.

19.6.1.1. Определение. Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция w = f(z). Разобьём кривую точками

z0 = A, z1, z2, …, zn = B на n частей, на каждой из дуг  выберем произвольную точку tk, найдём f(tk) и составим интегральную сумму . Предел последовательности этих сумм при , если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек tk, называется интегралом от функции w = f(z) по кривой L и обозначается .

Теорема. Если функция w = f(z) непрерывна на кривой L, то она интегрируема по этой кривой.

Док-во. Распишем действительные и мнимые части всех величин, входящих в интеграл:   тогда  , и сумма  разобьётся на две . Каждая из этих сумм - интегральная сумма для действительных криволинейных интегралов второго рода, соответственно,  и . Если L - кусочно-гладкая кривая, w = f(z) - непрерывна (тогда непрерывны её координатные функции u(x, y) и v(x, y)), то существуют пределы этих сумм при  - соответствующие криволинейные интегралы, следовательно, существует , и .

19.6.1.2. Свойства интеграла от ФКП. Мы доказали, что  выражается через два действительных криволинейных интеграла второго рода, поэтому он обладает всеми свойствами этих интегралов:

1.  - произвольные комплексные постоянные);

2.  - кривые без общих внутренних точек):

3.  - кривая, совпадающая с L, но проходимая в противоположном направлении;

4. Если l - длина кривой L, , то .


Необходимый признак сходимости ряда решения задач по курсовой работы