Функция комплексной переменной

Приложения операционного исчисления

к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем.

 20.5.1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

 Начальные условия в этой задаче заданы в точке t0 = 0. Если начальные условия задаются в другой точке , то заменой аргумента u = t - t0 их сдвигают в точку u0 = 0.

 Метод решения этой задачи основан на теореме о дифференцировании оригинала. Предположим, что функция x(t), её производные до n-го порядка, правая часть f(t) являются функциями-оригиналами, и . Тогда , , …, , и изображение задачи будет иметь вид , где  - изображение правой части уравнения. Это линейное относительно X(p) алгебраическое уравнение, решив которое, находим X(p). Оригинал этого изображения и будет решением задачи Коши.

 Пример. Найти решение задачи Коши .

 Решение. Пусть . Тогда , , , и изображение задачи имеет вид . Находим X(p):  . Обращаем это изображение: , . Решение задачи: .

 20.5.2. Общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Заметим, что решив задачу Коши с произвольными начальными условиями, мы получим общее решение уравнения. Так, для задачи предыдущего пункта  изображение будет иметь вид  . Решение задачи зависит от двух произвольных постоянных, представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения  и частного решения , следовательно, является общим решением уравнения.

20.5.3. Краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Если найдено общее решение уравнения, оно может быть использовано для решения краевой задачи. Пусть, например, задана краевая задача . Так как общее решение уже известно: , остаётся найти значения произвольных постоянных, при которых выполняются краевые условия:  следовательно, решение краевой задачи равно

.


Необходимый признак сходимости ряда решения задач по курсовой работы