Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тройной интеграл.

 16.2.1. Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла. Пусть в пространстве Oxyz задана ограниченная замкнутая область (объём) V, и пусть на области V определена функция f(x, y, z).

Разобьём область V произвольным образом на n подобластей V1, V2, V3, …, Vn, (не имеющих общих внутренних точек). Символом v(Vi) будем обозначать объём области Vi; символом d обозначим наибольший из диаметров областей Vi: .

В каждой из подобластей Vi (i = 1,2,…,n) выберем произвольную точку Pi = (xi, yi, zi), вычислим в этой точке значение функции f(Pi ) = f (xi, yi, zi), и составим интегральную сумму .

 Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области V на подобласти Vi, ни от выбора точек Pi, то функция f(x, y, z) называется интегрируемой по области V, а значение этого предела называется тройным интегралом от функции f(x, y, z)по области V и обозначается .

 Если расписать значение f(P) через координаты точки P, и представить dv как dv = dx dy dz, получим другое обозначение тройного интеграла: . Итак, кратко, .

 Теорема существования тройного интеграла. Если подынтегральная функция f(x, y, z) непрерывна на области V, то она интегрируема по этой области.

16.2.2. Свойства тройного интеграла по смыслу и доказательству полностью аналогичны свойствам определённого и двойного интегралов.

16.2.2.1. Линейность. Если функции f(x, y, z), g(x, y, z) интегрируемы по области V, то их линейная комбинация  тоже интегрируема по V, и  .

16.2.2.2. Аддитивность. Если область V является объединением двух областей V1 и V2, не имеющих общих внутренних точек, то .

16.2.2.3. Интеграл от единичной функции по области V равен объёму этой области: .

16.2.2.4 Интегрирование неравенств. Если в любой точке  выполняется неравенство , и функции f(P), g(P) интегрируемы по области V, то .


Двойной и тройной интеграл примеры решения задач