Обыкновенные дифференциальные уравнения

Криволинейные интегралы.

16.3.1. Введение. Рассмотрим следующую физическую задачу. Пусть в пространстве Oxyz вдоль кривой  перемещается материальная точка под воздействием силы ; при этом сила может меняться от точки к точке. Требуется найти работу, которая совершается силой.

  В случае, когда в качестве берётся  - прямолинейный отрезок (левая часть рисунка), и - постоянная сила, работа есть скалярное произведение силы на вектор перемещения точки: . Это выражение можно трактовать двумя способами.

По определению скалярного произведения . Здесь,  - угол между . Обозначим , тогда .

Если расписать скалярное произведение в координатной форме, то .

Пусть теперь  - произвольная гладкая ограниченная кривая, и сила может меняться от точки к точке (правая часть рисунка). Чтобы свести этот случай к предыдущему, разобьём кривую  точками  на  частей, на каждой из дуг  выберем произвольную точку , и, считая, что дуга  - прямолинейный отрезок - вектор  длины , и сила вдоль этого отрезка постоянна и равна , получим, что работа вдоль этой дуги близка к  (). Как мы видели, это выражение можно представить и в виде  

(где    - угол между  и ), и в виде . Суммируя эти выражения по всем  дугам, получим выражения двух интегральных сумм:  и . Переход к пределу в этих интегральных суммах при  приведёт к двум криволинейным интегралам:  и . Первый из этих интегралов называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги; второй - криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координатам. Несмотря на то, что они описывают одну и ту же физическую величину, с математической точки зрения это разные объекты. Они имеют разные определения и разные свойства. В частности, криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления прохождения кривой:  (так как угол  между силой и кривой входит в подынтегральную функцию в явном виде), в то время как криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления прохождения кривой:  (вектор , координаты которого входят в интегральную сумму, меняется на вектор ).

 Перейдём к формальным определениям.


Двойной и тройной интеграл примеры решения задач