Обыкновенные дифференциальные уравнения

Формула Грина.

 16.3.3.4.1. Связность, односвязность, многосвязность. Напомним определения ряда понятий из теории функций нескольких переменных, которыми нам придется пользоваться.

 Множество точек (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

 Область (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области.

 Примеры: односвязны шар, параллелепипед и вообще любой выпуклый объём в пространстве. Односвязен шаровой слой, заключённый между двумя сферами. Пример неодносвязной области: тор. Все пространство односвязно и остаётся односвязным, если из него удалить точку или отрезок. Если же удалить из пространства прямую, оно потеряет свойство односвязности: окружность, охватывающую эту прямую, не удастся стянуть в точку, не пересекая прямую.

 Кусочно-гладкая граница ограниченной односвязной области всегда связна, следовательно, является контуром.

 16.3.3.4.2. Теорема Грина для односвязной области. Пусть на плоскости Oxy задана односвязная область D, ограниченная кусочно-гладким контуром C. На множестве  определены непрерывные функции  и , имеющие непрерывные частные производные. Тогда , при этом контур С обходится так, что область D остаётся слева.

 Док-во. 1. Пусть D - простая область. Докажем сначала, что . Опишем D неравенствами  Тогда   . Если контур включает вертикальные участки, такие как EF, то на этих участках dx= 0, поэтому , и , что и требовалось доказать.

Равенство  доказывается точно также:   . Суммируя равенства  и , получим одну из важнейших формул анализа -формулу Грина

 2. Пусть теперь D - произвольная, не обязательно простая, область. Разобьём её на простые части. Пусть это разбиение производится отрезком АВ, и пусть подобласти D1 и D2 - результат разбиения. Для этих подобластей формула Грина доказана:

 и . По свойству аддитивности  . Суммируя эти выражения, убеждаемся, что криволинейные интегралы по отрезкам АВ и ВА взаимно уничтожаются, а сумма интегралов по кривым ВFA и AEB даёт интеграл по контуру С, т.е. формула Грина верна и для области, не являющейся простой. Доказательство остаётся справедливым и в случае, когда разбиение производится добавлением большего числа, чем одна, кривых.


Двойной и тройной интеграл примеры решения задач