Механические и физические приложения поверхностного интеграла

Дифференциальные характеристики векторного поля.

17.2.2.1. Дивергенция векторного поля.

Пусть в некоторой системе координат . Скалярная величина (скалярное поле)  называется дивергенцией поля в точке М и обозначается : . С помощью оператора набла дивергенция определяется как скалярное произведение . В дальнейшем мы увидим, что дивергенция инвариантна относительно системы координат и обозначает плотность источников поля, а сейчас сформулируем свойства дивергенции:

Если (M) - постоянное векторное поле, то ;

 (или );

Если u - скалярное поле, то  (или ). В частности, если (M) - постоянное векторное поле, то .

Докажем, например, третье свойство.   .

Пример вычисления дивергенции: если , то .

17.2.2.2. Ротор векторного поля. Ротором векторного поля (M) в точке  называется векторная величина (векторное поле) . Запомнить эту формулу очень легко, если выразить  через оператор Гамильтона набла:  равен векторному произведению . Действительно, . Если теперь раскрыть этот определитель по первой строке, получим

.

Пример: если , то

 Свойства ротора:

Если (M) - постоянное векторное поле, то ;

 (или );

Если u - скалярное поле, то  (или ). В частности, если (M) - постоянное векторное поле, то .

Докажем третье свойство.   

.


Дифференцируемость функции комплексной переменной решения задач по математике