Механические и физические приложения поверхностного интеграла

Гармонические поля.

18.3.1. Оператор Лапласа. Пусть функция  имеет непрерывные вторые частные производные. Вычислим . Оператор , с помощью которого по функции   получена функция , называется оператором Лапласа, или лапласианом. Формально его можно получить возведением в скалярный квадрат оператора Гамильтона набла:

.

Можно дать другое представление оператора Лапласа: , и это будет уже инвариантным определением оператора.

18.3.2. Гармонические поля. Скалярное поле  называется гармоническим, если оно удовлетворяет уравнению Лапласа , или . Векторное поле (M) называется гармоническим, если оно является градиентом некоторой гармонической функции, т.е. (M), где .

Из этого определения следует, что гармоническое векторное поле одновременно потенциально и соленоидально, так как . Верно и обратное: если (M) одновременно и потенциально, и соленоидально, то оно является гармоническим. Действительно, из потенциальности , из соленоидальности  , т.е.  - гармонический потенциал. Каждая координата гармонического векторного поля является гармонической функцией.

18.2. Функциональные ряды.

18.2.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность функций .

независимой переменной х, имеющих общую область определения D. Ряд

называется функциональным рядом.

 Примеры: 1. ;

2. ;

3. .

Для каждого значения  функциональный ряд превращается в числовой ряд, сходящийся или расходящийся. Так, первый из примеров - геометрическая прогрессия со знаменателем х, этот ряд сходится при х=1/2 и расходится при х=2.

Определение. Значение , при котором функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости функционального ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости обозначим .

Так, для первого из приведённых примеров область сходимости - интервал (-1, 1); для второго - ряда Дирихле - область сходимости - полуось х>0; третий ряд абсолютно сходится в любой точке х, так как при любом х справедливо ; следовательно, область сходимости третьего ряда ).

Для каждого  мы получаем сходящийся числовой ряд, свой для каждого х, поэтому сумма функционального ряда есть функция , определённая на области . Так, для первого примера, как мы знаем, , т.е.  на интервале

(-1, 1); вне этого интервала равенство не имеет места; так, в точке х=2 ряд расходится, а . Сумма второго ряда - знаменитая функция Римана , определённая на полуоси ; эта функция играет важную роль в теории чисел. Сумма третьего ряда, как мы увидим дальше при изучении рядов Фурье, равна функции периода , получающаяся в результате периодического повторения функции , определённой на отрезке , по всей числовой оси.

 Коль скоро мы осознали, что сумма функционального ряда - функция, встаёт вопрос о свойствах этой функции. Так, члены ряда могут иметь свойства непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и т.д. Будет ли обладать этими свойствами сумма ряда? То, что это не праздный вопрос, показывает следующий пример. Пусть , , , , …, , …. Ряд  состоит из непрерывных членов, найдём его область сходимости и сумму. Частичная сумма ряда  . Последовательность  при  имеет конечный предел только, если  (это и есть область сходимости ряда), при этом  Таким образом, для ряда, члены которого - непрерывные функции, мы получили разрывную на области сходимости сумму.

Сумма ряда сохраняет хорошие свойства своих членов в том случае, если ряд сходится равномерно.


Дифференцируемость функции комплексной переменной решения задач по математике