Механические и физические приложения поверхностного интеграла

Свойства сходящихся рядов.

18.1.2.1. Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда

  (18.2.1)

стремится к нулю при : .

 

  сходится . Обратное неверно. Пример – гармонический ряд.

 Доказательство. Если , то и , но  , следовательно .

 С проверки выполнения условия  надо начинать решение любой задачи на исследование сходимости ряда: если это условие не выполняется, то ряд заведомо расходится. Это условие необходимо, но не достаточно для сходимости ряда: общий член гармонического ряда (18.1.2) , однако этот ряд расходится

 Введём понятие остатка ряда.

 Определение. Остатком ряда (18.2.1) после n-го члена называется ряд .

 18.1.2.2. Если сходится ряд (18.2.1), то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

 Доказательство. Пусть  - частичные суммы ряда (18.2.1); обозначим k-ую частичную сумму остатка : . Тогда . Устремим , считая n фиксированным числом. Ряд (18.2.1) сходится, т.е. существует конечный , следовательно существует конечный предел , т.е. остаток сходится. Обратное утверждение доказывается также. Так как , то из существования конечного предела  следует существование конечного предела , т.е. из сходимости остатка следует сходимость ряда.

 Житейский вывод из этого свойства: отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или добавление в его начало нескольких новых членов не влияет на сходимость ряда.

18.1.2.3. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .

  Доказательство. Пусть S - сумма исходного ряда (18.2.1),   - сумма его остатка. Из равенства   следует , т.е. . Отсюда .

 Здесь тоже можно сделать житейский вывод. Из предыдущего свойства следует, что сходимость ряда определяется сходимостью его остатка, т.е. хвостом ряда, а сумма S ряда, как следует из равенства , определяется пределом  , т.е. началом ряда.


Дифференцируемость функции комплексной переменной решения задач по математике