Основные правила дифференцирования

Гиперболические функции.

4.2.1. Определение гиперболических функций.

  Опр. 4.2.1. Гиперболическими называются функции

   - синус гиперболический;  - косинус гиперболический;

 - тангенс гиперболический;

 - котангенс гиперболический.

Графики гиперболических функций:


4.2.2. Соотношения между гиперболическими функциями.

  Исходя из определения гиперболических функций можно получить различные соотношения между этими функциями, схожие с соответствующими соотношениями между тригонометрическими функциями, или, в некоторых случаях, отличающиеся знаком перед некоторыми слагаемыми. Так, прямой подстановкой проверяется равенство  (основное гиперболическое тождество, играющее в теории гиперболических функций ту же роль, какую в тригонометрии играет основное тригонометрическое тождество ).

Прямой проверкой или из основного гиперболического тождества можно получить аналог любой тригонометрической формулы, например

  sh 2x = 2 shx chx

и т.д. Получать эти соотношения можно также руководствуясь мнемоническим правилом (оно доказывается в комплексном анализе): вместо cos x пишется ch x, а вместо sin x пишется ish x, где i - мнимая единица ( i= i= -1).

4.2.3. Обратные гиперболические функции.

Обратные гиперболические функции определяются как функции, обратные соответствующим гиперболическим функциям. например:

если y = Ar sh x, то x = sh y, где : x Î R , y Î R.

Любую обратную гиперболическую функцию можно выразить через логарифм натуральный. Так, решая уравнение  относительно y с помощью подстановки z = e x, получим для z квадратное уравнение , при решении которого надо взять положительный корень , и окончательно . Для остальных функций так же можно получить  

Справа и ниже на рисунках приведены графики прямых и обратных гиперболических функций.


Предел функции одной переменной