Основные правила дифференцирования

Последовательность и её предел.

4.3.1. Определение последовательности и её предела.

 Опр. 4.3.1. Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а1, а2, а3,…, аn,….

Примеры:

1). 1, 1, 1,…,1,…; аn=1, nÎN;

3). ; nÎN;

2). ; аn=, nÎN;

4).

Обозначать последовательность мы будем либо перечислением её членов, как в приведённых примерах, либо более краткой записью , либо просто . Так как множество  счётно, его члены могут быть пронумерованы, нижний индекс как раз и обозначает номер члена последовательности. В терминах функциональной зависимости последовательность можно определить как функцию натурального аргумента n, поэтому для последовательности имеют смысл введённые выше опр.4.1.3 -4.1.11, описывающие её свойства.

Далее символом N будет обозначаться не множество натуральных чисел, а некоторый элемент этого множества, т.е. просто некоторое натуральное число.

 Опр. 4.3.2. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа e существует такое натуральное число N (зависящее от e), что для членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство | an - a |<e.

Обозначения: ; ;  при .

Если  при , то говорят также, что последовательность   сходится к числу а.

Краткая форма записи определения: .

Неравенство |an - a|<e эквивалентно двустороннему неравенству -e< an - a <e или a-e< an <a+e. Таким образом, смысл неравенства | an - a |<e заключается в том, что для "e>0 мы можем найти такое N, что все точки an с номерами индексов n>N лежат внутри интервала Ue(a) =


(a-e,a+e), т.е. вне этого интервала лежит не более чем конечное число точек последовательности. Докажем, например, что последовательность  при  сходится к двум. Возьмём "e>0. Требуется доказать, что существует такое N=N(e), что при n>N выполняется неравенство |an-a|<e, т.е. . Таким образом, если в качестве N=N(e) мы возьмём N(e)= (где Е(х)-определённая выше функция - целая часть числа х), то при n>N выполняется неравенство , что и требовалось. Расположение нескольких первых членов последовательности на числовой оси приведено на рисунке снизу. Сходимость последовательности к числу 2 выражается в том, что члены последовательности сгущаются около точки х=2.

4.3.2. Свойства сходящейся последовательности.

Сформулируем и докажем ряд свойств сходящейся последовательности (т.е. последовательности, имеющей предел).

4.3.2.1. Если последовательность постоянна (т.е. аn=const=C для "n), то она имеет предел, и этот предел равен числу С.

 Док-во. Неравенство | аn-C |=0<e выполняется для "n,"e, т.е. выполняются условия определения предела.

4.3.2.2. Последовательность может иметь только один предел.

Док-во. От противного: предположим, что последовательность имеет два предела:  и . Предположим для определённости, что b>a. Возьмём в качестве e любое число, меньшее, чем (b-a)/2. Так как , то, по определению предела последовательности, $N1: n> N1 Þa-e<an < a+e<a+(b-a)/2=(a+b)/2. Так как , то $N2: n> N2 Þ(a+b)/2= b-(b-a)/2<b-e<an < b+e. Возьмём N=max{ N1, N2}. Тогда при n> N одновременно должны выполняться неравенства an < (a+b)/2 и an > (a+b)/2, что невозможно.


Предел функции одной переменной