Основные правила дифференцирования

Раскрытие неопределённостей.

 Более сложные случаи при решении задач на пределы - если подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым как  . Нахождение предела в этом случае называется раскрытием неопределённости. Рассмотрим элементарные приёмы раскрытия неопределённостей.

4.5.3.1. Неопределённость . а). Дробно-рациональные функции. В этом случае в числителе и знаменателе выделяется множитель (х-а) и и рассматривается выражение, получаемое после сокращения на этот множитель. Пример:  .

б). Дробно-иррациональные функции (.f(х) зависит от выражений вида ). Множитель (х-а) в этом случае выделяется применением формул сокращённого умножения:   и т.д.

в). Пределы от функций, в которых участвуют тригонометрические выражения, обычно сводятся к первому замечательному пределу:

 4.5.3.2. Неопределённость  формально легко сводится к неопределённости : пусть f(x)®¥, g(x)®0 при х®а. Тогда  и получена неопределённость  (представление  даст неопределённость , см. ниже). Однако часто можно обойтись более простыми преобразованиями:  4.5.3.3. Неопределённость  также легко сводится к неопределённости : пусть f(x)®¥, g(x)®¥ при х®а. Тогда  и получена неопределённость . И здесь обычно обходятся более простыми преобразованиями, например, делением числителя и знаменателя на максимальную степень х (приём, применённый также в примере 7 раздела 4.5.2. Выделение главной части функции): , так как   при х®+¥,  при х®¥ ( теор.4.4.7 о произведении БМ на ограниченную функцию).


Предел функции одной переменной