Основные правила дифференцирования

Производная обратной функции.

Вывод формул производных функций  и .

Теор.6.1. Пусть для f(x): 1. выполняются условия Теор.5.6.5 об обратной функции (непрерывность и строгая монотонность на отрезке [a,b]). 2. в точке х0 существует неравная нулю производная f'(х0). Тогда обратная функция х = g(у) в точке у0= f(х0) также имеет производную, равную .

Док-во. Придадим переменной у приращение Dу¹0. Тогда переменная х получит приращение . Вследствие строгой монотонности Dх¹0; вследствие непрерывности Dх®0ÛDу®0. . Устремим Dу®0, тогда Dх®0 и, по условию теоремы, существует  (предел дроби), т.е. .

Итак, производные взаимно обратных функций связаны соотношением .

Применим эту формулу для вывода производных обратных тригонометрических функций. Дифференциальные уравнения Курс лекций по математике

8. . Обратная функция  имеет производную . Так как , получим: .

9. Для функции  совершенно аналогично получается .

6.4. Формула для приращения функции, имеющей производную.

Непрерывность функции, имеющей производную.

  Пусть x - точка, в которой функция у= f(x) имеет производную у'(x), Dх и Dу - приращение аргумента и соответствующее приращение функции. Докажем

 Теор.6.2. Если функция имеет производную в точке х, то её приращение в этой точке можно представить в виде Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - бесконечно малая функция при Dх ®0.

  Док-во. Пусть . По теор.4.4.9 о связи функции с её пределом функция  представляется в виде . Домножая это выражение на Dх, получим необходимое представление приращения функции, имеющей производную.

 Из доказанной теоремы сразу следует, что функция, имеющая производную в точке х, непрерывна в этой точке: если Dх®0, то Dу= у'(x) Dх + a(Dх) Dх тоже стремится к нулю, т.е. БМ приращению функции соответствует БМ приращение аргумента. Обратное утверждение неверно: функция |x| непрерывна в точке x =0, но не имеет в этой точке производной.


Предел функции одной переменной