Основные правила дифференцирования

Основные правила дифференцирования.

 Здесь мы выведем основные формулы, применяющиеся при нахождении производных - формулы для производных суммы, произведения, частного и т.д. Значение функции в точке х+Dx нам удобно будет представлять в виде у(х+Dx)= у(х)+ Dу= у(х)+ у'(x) Dх + a(Dх) Dх, где a(Dх) - БМ при Dх ®0, следующим из определения для приращения функции: Dу = у(х+Dx)- у(x).

6.5.1. Пусть функция u(x) имеет производную в точке х. Тогда в этой точке имеет производную функция y(x)=(Сu(x)), и (Сu(x))' = Сu'(x).

 Док-во: Dy = D(Сu(x))= (Сu(x+Dx))- (Сu(x))=С[u(x+Dx)- u(x)]=CDuÞ$

.

6.5.2. Производная суммы. Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х. Тогда в этой точке имеют производные функции y = (u(x)± v(x)), и (u(x)± v(x))' = u'(x)± v'(x).

Док-во: Dy = D(u(x) ± v(x))= (u(x+Dx) ± v(x+Dx))- (u(x) ± v(x))=[u(x+Dx)- u(x)] ±[v(x+Dx)- v(x)]=Du±D v(x)  Þ$ .

6.5.3. Производная произведения. Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х. Тогда в этой точке имеет производную функция y = (u(x)v(x)), и (u(x)v(x))' = u'(x)v(x))+ u(x)v'(x)).

Док-во. Найдём Dу. Так как u(х+Dx)= u(х)+Du, v(х+Dx)= v(х)+Dv, то

Dу= u(х+Dx)v(х+Dx)- u(х)v(х)=[u(х)+Du][v(х)+Dv]-u(x)v(x)= u(x)Dv+ v(x)Du+DuDv. . Перейдём к пределу при Dх ®0. Так как при этом Du ®0, то

.

6.5.4. Производная частного. Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные в точке х, причём v(x)¹0. Тогда в этой точке имеет производную функция , и.

Док-во. Найдём Dу:  .

. Перейдём к пределу при Dх ®0. Так как при этом Dv ®0, то .

 6.5.5. Производная сложной функции. Теор.6.3. Пусть функция   имеет в точке  производную , функция  имеет в точке  производную . Тогда сложная функция  имеет в точкепроизводную, равную произведению производных функций   и : .

 Док-во. Придадим переменной  приращение Dх, тогда переменная u получит приращение Du, как следствие, функция  получит приращение Dу. По Теор.6.2 о приращении функции, имеющей производную, , где a(Du) - БМ функция при Du ®0. Тогда . Перейдём к пределу при Dx ®0. Так как при этом Du ®0, то

 6.5.6.В качестве примера применения доказанных в этом разделе формул выведем формулы для производных оставшихся элементарных функций:

10. .

11.  доказывается аналогично.

12.

.

13.  доказывается аналогично.

14. .

15.  - доказывается аналогично.

16. .

17. - доказывается аналогично.

18. .

19.  - доказывается аналогично.

20. .

21.  - доказывается аналогично (формула (20) справедлива при |x|<1, (21) - при |x|>1).


Предел функции одной переменной