Основные правила дифференцирования

Множества высших мощностей.

Опр. 1.3.6. Если множества А и В неравномощны, но одно из них, например, А, равномощно с некоторым подмножеством множества В, то множество В называется множеством большей мощности, чем А.

Минимальной мощностью обладает пустое множество. Счётное множество имеет большую мощность, чем любое конечное, континуум - большую мощность, чем счётное. Существуют ли множества большей мощности? Следующая теорема показывает, что для любого множества можно построить более мощное множество.

Теор. 1.3.2. Мощность множества всех подмножеств непустого множества А больше, чем мощность исходного множества А.

Док-во. Мощность множества В подмножеств любого множества А не меньше, чем мощность А (В содержит подмножества, состоящие из одного элемента, мощность множества B1={B1,a| B1,a={a}} таких подмножеств равна мощности множества А в силу взаимно-однозначного соответствия а« B1,a). Следовательно, мощность В больше или равна мощности А. Докажем, что мощность В не может быть равна мощности А. Применим доказательство от противного. Предположим, что существует взаимно-однозначное соответствие между элементами А и В, т.е. каждому элементу хÎА поставлено в соответствие подмножество АхÍА. Возможны два случая: хÎАх и хÏАх. Элементы х, такие, что хÎАх, будем называть элементами первого типа, элементы х, такие, что хÏАх, назовём элементами второго типа. Рассмотрим множество С элементов второго типа. В соответствии х«Ах множеству СÌВ соответствует элемент хСÎА. Каков тип элемента хС? хС не может быть элементом первого типа, так как в этом случае должно быть хСÎС, а С состоит из элементов второго типа. хС не может быть элементом второго типа, так как в этом случае должно быть хСÏС, а С содержит все элементы второго типа. Полученное противоречие показывает, взаимно-однозначного соответствия между элементами А и В существовать не может, т.е. мощность В больше мощности А.

Задачи.

Доказать:

1. А\(ВÈС) = (А\В)\С.

6. D=AÈ(B\C) Þ (AÈB)\CÌD.

2. А=ВÈС Þ А\ВÌС.

7. (A1ÈA2)\(B1ÈB2) Ì (A1\B1)È(A2\B2).

3. А\В=С Þ АÌ( ВÈС).

8. .

4. АÍВ Û АÇВ=А.

9. .

5. АÍВ Û АÈВ=В.

 Привести пример таких множеств, что

1. A ¹ BÈ(A\B).

3. D=AÈ(B\C), но D¹(AÈB)\C.

2. A = BÈC, но A\B¹C.

4. (A1ÈA2)\(B1ÈB2) ¹ (A1\B1)È(A2\B2).


Предел функции одной переменной