Основные правила дифференцирования

Основные теоремы дифференциального исчисления.

 В этом и следующем разделах будет исследован вопрос: какую информацию о поведении функции f(x) можно получить, если известны производные этой функции?

7.1. Теорема Ферма.

  7.1.1. Определение экстремума функции.

Опр.7.1. Пусть х0 - внутренняя точка области определения Х функции f(x), т.е. х0Î Х вместе с некоторой своей -окрестностью. Точка х0 называется точкой (строгого) максимума функции f(x) (или f(x) имеет максимум в точке х0), если для любого х из проколотой -окрестности  этой точки выполняется неравенство f(x)< f(х0). (Если для  выполняется , точка х0 называется точкой нестрогого максимума функции f(x)).

 Соответственно, точка х0 называется точкой (строгого) минимума функции f(x) (или f(x) имеет минимум в точке х0), если в некоторой проколотой окрестности  этой точки для любого хÎ выполняется неравенство f(x)> f(х0).

 Общее название для максимума и минимума функции - экстремум; точки, в которых достигается максимум или минимум - точки экстремума.

  Эти определения носят локальный характер: значение функции в точке экстремума сравнивается с значениями в близко лежащих точках. На приведенном выше рисунке точки M1, M2 - точки строгого максимума, точки m1, m3 - точки строгого минимума, m2- точка нестрогого минимума; при этом минимум функции в точке m1 больше, чем максимум в точке M2.

 7.1.2. Теорема о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции. Пусть функция  имеет в точке  конечную производную . Тогда если , то  возрастает в точке  (т.е. для значений х из некоторой окрестности точки выполняются условия: если , то , если , то . Если , то  убывает в точке  (т.е. для значений х из некоторой окрестности точки   выполняются условия: если , то , если , то ).

 Если в формулировке теоремы иметь в виду одностороннюю производную, например, справа, то утверждение теоремы будет справедливо для значений х, находящихся справа от , т.е. для .

 Док-во. По определению, . Рассмотрим случай . По теор.4.4.4 (о сохранении функцией знака предела) существует окрестность точки , в которой , что означает  , т.е. возрастание функции f(x) в точке .

 Случай  рассматривается аналогично.

 7.1.3. Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и во внутренней точке  этого отрезка принимает экстремальное значение. Пусть в точке  существует . Тогда .

 Док-во от противного. Пусть  - точка экстремума функции f(x), и пусть . Рассмотрим для определённости случай, когда  - точка минимума; предположим, что . Тогда слева от точки  по теор.7.1.2 должно быть , что противоречит предположению о том, что  - точка минимума. Если мы предположим, что , то  должно быть справа от точки , чего тоже быть не может. Таким образом, .

  Случай, когда  - точка максимума, рассматривается аналогично. Геометрически теорема Ферма означает, что в точке экстремума гладкой функции касательная к графику функции параллельна оси Ох.


Предел функции одной переменной