Математика - множества, функции, пределы, производная

Теорема Ролля.

 Теор.7.2. Пусть функция f (х): 1. непрерывна на отрезке [a,b]; 2. дифференцируема в каждой точке интервала (a,b); 3. принимает на концах отрезка равные значения: f(a) = f(b).

 Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с, в которой производная функции равна нулю: f '(с) = 0.

 Док-во. f (х) непрерывна на [a,b], поэтому, по Теор.5.6.4 о достижении минимального и максимального значений, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Возможны случаи: 1. m = M. Это означает, что функция постоянна на [a,b]: f (х) = m = M. Тогда в каждой точке сÎ[a,b]

 f '(с) = 0.

2. m < M. Так как f(a) = f(b), то хотя бы одно из этих значений достигается во внутренней точке с отрезка. Тогда из теоремы Ферма 7.1.3 следует, что f '(с) = 0.

Так как к теореме Ролля сводятся доказательства остальных теорем, установим обязательность приведённых в формулировке теоремы требований: 1. Непрерывность функции f (х) необходима для справедливости теоремы: функция  удовлетворяет на отрезке [0,1] всем условиям теоремы, за исключением того, что имеет единственную точку разрыва x=1, и её производная f '(х) = 1 ¹ 0 в любой точке интервала (0,1); 2. Существование производной f '(x) в любой точке интервала (0,1) также необходимо: функция f(х)=|x| удовлетворяет всем условиям теоремы на отрезке [-1,1], за исключением того, что не имеет производной в точке x=0, и f '(х) = -1 ¹ 0 при хÎ(-1,0), f '(х) = 1 ¹ 0 при хÎ(0,1); 3. Условие f(a) = f(b) также необходимо для справедливости теоремы (контрпример - f (х) = х).

7.3. Теорема Лагранжа. Аналитическая геометрия на плоскости

 Теор.7.3. Пусть функция f (х): 1. непрерывна на отрезке [a,b]; 2. дифференцируема в каждой точке интервала (a,b).

  Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с (a<с<b), в которой .

 Док-во. Рассмотрим на отрезке [a,b] вспомогательную функцию

. Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля (она 1. непрерывна как разность между непрерывной f (х) и непрерывной линейной функцией; 2. в любой точке интервала (a,b) имеет производную ; 3. на концах отрезка [a,b] принимает одинаковые значения:  ). Следовательно, по теореме Ролля, $сÎ(a,b), для которой , т.е. .

 Геометрический смысл теоремы Лагранжа : так как отношение   равно угловому коэффициенту секущей АС, на кривой АС найдётся по крайней мере одна точка , в которой касательная параллельна хорде АС. Следующая из теоремы Лагранжа формула  называется формулой конечных приращений Лагранжа, она позволяет оценить приращение функции на отрезке [a,b] через приращение аргумента и оценку значений производной на интервале (a,b) и часто применяется в математическом анализе.


Примеры вычисления производной