Математика - множества, функции, пределы, производная

Теорема Коши.

 Теор.7.4. Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке [a,b]; 2. имеют производные f '(x) и g'(х) на интервале (a,b); 3. g'(х) ¹ 0 на интервале (a,b). Тогда на интервале (a,b) найдётся точка с (a<с<b), в которой .

 Док-во. Отметим предварительно, что g(b) ¹ g(a) (иначе по теореме Ролля нашлась бы точка сÎ(a,b), в которой  g '(с) = 0, что противоречит условию теоремы), так что дробь в правой части формулы Коши имеет смысл. Рассмотрим функцию . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля (проверить!), поэтому $ сÎ(a,b), в которой F '(с) = 0. , поэтому в точке с , т.е. , что и требовалось доказать.

 Легко убедиться, что теорема Лагранжа - частный случай теоремы Коши при .

7.5. Теоремы Лопиталя.

 Теор.7.5 (неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на отрезке 

[a, b]; 2., ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a,b), причём g'(х) ¹ 0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует, и .

 Док-во. Так как функции f (х) и g (х) непрерывны в точке а, то , , и . Для функций f (х) и g (х) на отрезке [a, х] выполняются условия теоремы Коши, поэтому существует точка сÎ(a, х), такая что . Устремим , при этом и . В пределе получим, что и требовалось доказать.

 Распространим доказанную теорему на случай :


Примеры вычисления производной