Математика - множества, функции, пределы, производная

Формула Тейлора.

7.7.1. Формула Тейлора для многочленов. Рассмотрим следующую простую задачу. Дан многочлен по степеням х: . Требуется представить функцию Р3(x) в виде многочлена по степеням (x+2). Решение: представим х в виде (х+2)-2. Тогда

Решим эту задачу по другому: попытаемся выразить коэффициенты разложения многочлена по степеням (x+2) через производные функции Р3(x). Действительно, если , то а0 = Р3 (-2) = 3(-2)3-4(-2) 2+5=

=-11 (первые три слагаемых в правом представлении при подстановке х = -2 обращаются в нуль). Дифференцируя Р3(x), получим . Подстановка в это равенство х = -2 даёт а1 = Р3'(-2) = 9(-2) 2-4= 32. Находим Р''3 (x): , откуда при х = -2 получим . Находим Р3'''(x):

, откуда .

  Рассмотрим эту задачу в общем случае: пусть

выразим коэффициенты этого многочлена через его производные в точке х0. Взяв х = х0, получим . Дифференцируем :

Следовательно, . Находим вторую производную :

  Следовательно, . Находим третью производную :

Следовательно, . Далее, находя четвёртую производную, получим  и т.д. Окончательно: , i = 0,1,2,…,n, и

Эта формула и называется формулой Тейлора для многочленов. (Под производной функции f(x) нулевого порядка понимается сама функция f(x); напомним, что 0! = 1 по определению).

7.7.2. Формула Тейлора для произвольной функции. Пусть теперь f(x) - произвольная функция, которая в точке х0 имеет производные всех порядков до n-го включительно. Построим с помощью производных этой функции многочлен Тейлора n-ой степени:

 

Значения этого многочлена и его производных до n-го порядка в точке х0 совпадают с производными функции f(x): = f(x0), , однако, если f(x) - произвольная функция, мы не можем утверждать, что ; многочлен   лишь даёт некоторое приближение к f(x). Разность

  

называется остаточным членом формулы Тейлора и характеризует погрешность этого приближения. Функция Rn(x) обладает тем свойством, что и сама Rn(x), и все её производные вплоть до n-го порядка в точке х0 равны нулю. Оценить эту функцию можно различными способами; мы рассмотрим две наиболее часто применяемые формы представления этой функции.


Примеры вычисления производной