Основные правила дифференцирования

Кванторы.

 В этом разделе мы расширим понятие термина "высказывание", чтобы ввести в рассмотрение утверждения вида х>7. Строго говоря, это утверждение не является высказыванием в смысле опр.2.1.1, так как мы не можем сказать, истинно оно или ложно (оно истинно, если, например, xÎ[12,15] и ложно, если xÎ[ 2, 5]). Тем не менее, утверждения, содержащие переменные x, y, z,… с областями возможных значений X, Y, Z,…, обладающие тем свойством, что для каждого набора переменных xÎ X, yÎ Y, zÎ Z,…истинность утверждения может быть установлена, в дальнейшем тоже будем называть высказываниями. Зависимость высказываний А, В, … от переменной x будем обозначать как А(х), В(х),… xÎ X. Подмножество Х(А)ÍХ множества Х такое, что для любого хÎХ(А) высказывание А(х) истинно, будем называть областью истинности высказывания А (так, для высказывания х>-2, X=[-5, 5] будет Х(А) = (-2, 5]).

 Кванторы - логические операции, с помощью которых по некоторому высказыванию А(х) получают новые высказывания, характеризующие область истинности высказывания А(х).

Опр. 2.2.1. Квантором всеобщности (обозначение - ") высказывания А(х), xÎ X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если высказывание А(х) истинно для любого элемента xÎ X, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда хотя бы для одного xÎ X высказывание А(х) ложно)

Формула "хÎХ, А(х) читается как "для любого х, принадлежащего Х, справедливо А(х)"; "все х из Х удовлетворяют условию А(х)" и т.д. Формальное определение квантора всеобщности:

  Примеры: высказывание ("хÎ[-2,4], x2>-2) - истинно, высказывание ("хÎ[-2,4], x2>16) - ложно, высказывание ("хÎN, x2>0) - истинно, высказывание ("хÎR, x2>0) - ложно.

Опр. 2.2.2. Квантором существования (обозначение -$) высказывания А(х), xÎ X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если высказывание А(х) истинно хотя бы для одного элемента xÎ X, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда высказывание А(х) ложно для всех xÎ X).

Формула $хÎХ, А(х) читается как "существует (найдётся) (хотя бы один) элемент х, принадлежащий Х, для которого справедливо А(х)". Формальное определение квантора существования:

 Примеры: высказывание ($хÎ[-2,4], x2 > 20) - ложно, высказывание ($хÎ[-2,4], x2 > 10) - истинно, высказывание ($хÎN, x2 = 0) - ложно, высказывание ($хÎR, x2 = 0) - истинно. [an error occurred while processing this directive]

Опр. 2.2.3. Квантором существования и единственности (обозначение -$!) высказывания А(х), xÎ X, называется логическая операция, имеющая значение "истина", если на множестве X существует элемент x, для которого высказывание А(х) истинно, и такой элемент единственен, и значение "ложь" в противоположном случае (т.е. в случае, когда высказывание А(х) ложно для любого элемента xÎ X либо А(х) истинно более чем для одного элемента xÎ X).

Формула $! хÎХ, А(х) читается как "существует единственный элемент х, принадлежащий Х, для которого справедливо А(х)”. Формальное определение квантора существования и единственности:

  Примеры: высказывание ($! хÎ[-2,4], x2 ³ 16) - истинно, высказывание ($Î[-2,4], x2 > 15) - ложно, высказывание ($ÎN, x2 £ 1) - истинно, высказывание ($ÎR, x2 £ 1) - ложно.

 Применение кванторов позволяет компактно записывать формулировки теорем, определений и других математических утверждений. Например, теорема о существовании корней квадратного уравнения запишется так:

.


Предел функции одной переменной