Математика - множества, функции, пределы, производная

Экстремумы функции, необходимое условие.

 В разделе 7.1. Теорема Ферма мы определили понятия локальных минимума, максимума (общее название - экстремумы) функции, и доказали, что если в точке внутреннего экстремума функции  существует производная , то . Таким образом получаем

 8.3.1. Необходимое условие экстремума. Если во внутренней точке х области определения дифференцируемая функция  имеет экстремум, то .

 Это условие не является достаточным. Так, функция  в точке  имеет нулевую производную, но не имеет экстремума. Экстремум может также реализоваться в точке, в которой производная не существует (пример - функция , график справа). Введём термины, которые описывают точки, в которых может реализоваться экстремум функции

 Опр.8.3.1. Точка  области определения функции  называется критической точкой первого рода этой функции, если: 1. в окрестности этой точки функция непрерывна; 2. в проколотой окрестности - дифференцируема; 3. в самой точке  (конечная) производная функции равна нулю или не существует.

Опр.8.3.2. Критическая точка первого рода функции , в которой производная равна нулю, называется стационарной точкой этой функции.

 Из изложенного следует, что внутренняя точка области определения дифференцируемой (во всех точках , за исключением, возможно, конечного их числа) функции может быть точкой локального экстремума тогда и только тогда, когда эта точка является критической точкой первого рода этой функции. Критичность точки есть необходимое, но недостаточное условие экстремума функции.

8.4. Достаточные условия экстремума функции.

 8.4.1. Первый достаточный признак экстремума (в критической точке, по знаку первой производной). Пусть точка  - критическая точка первого рода функции , т.е. функция имеет производную в каждой точке некоторой проколотой окрестности  точки , и пусть  сохраняет определённый знак как справа, так и слева от точки  (в отдельности). Тогда: если производная сохраняет знак при переходе через точку , то экстремум в этой точке отсутствует; если производная меняет знак при переходе через точку , то точка - точка экстремума, при этом если >0 при x<, <0 при x>, то  - точка максимума, если <0 при x<, >0 при x>, то  - точка минимума.

 Док-во. Пусть и  сохраняет знак при переходе через критическую точку , примем для определённости, что >0 при . Это означает, по теор.7.1.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции, что функция возрастает как справа, так и слева от точки , т.е. экстремум в этой точке отсутствует. Аналогично, если <0 для , то  убывает как слева, так и справа от точки , т.е. экстремум в этой точке отсутствует.

 Рассмотрим теперь случай, когда производная меняет знак при переходе через точку ; пусть, для определённости, >0 при x<, <0 при x>, т.е. производная меняет знак с "+" на "-". По той же теореме 7.1.2 в этом случае  возрастает при x< и убывает при x>, т.е.  - точка максимума.

Совершенно аналогично, в случае, когда производная меняет знак с "-" на "+" при переходе через точку , получим, что  - точка минимума.

 Рассмотрим два примера на применение изложенного алгоритма нахождения экстремумов.

Найти участки монотонности и экстремумы функции .

Производная этой функции существует везде:

, поэтому критические точки 1-го рода совпадают со стационарными точками: , , . Эти точки разбивают область определения (всю числовую ось) на четыре интервала, в каждом из которых производная сохраняет знак, т.е. функция сохраняет направление монотонности. Составим таблицу:

 +

 0

 -

 0

 +

 0

 +

 Мах=0

 min

Нет экстр.

Точка  - точка максимума, ; точка - точка минимума, ; в точке  экстремума нет (функция возрастает в окрестности этой точки). График функции на отрезке [-2.5, 2] приведён справа.

 2. Найти участки монотонности и экстремумы функции . . Решая уравнение , находим стационарные точки , другими критическими точками первого рода будут точки , , в которых знаменатель обращается в нуль. Так как функция чётна, достаточно исследовать её поведение при ; в таблицу включаем левую окрестность точки :

 

 

 

 

 

 -

 

 +

 0

 -

 

 -

 Мin=0

Max

Нет экстр.

Точка , как и точка , будет точкой максимума с тем же значением функции; в точке  экстремум отсутствует.


Примеры вычисления производной