Математика - множества, функции, пределы, производная

Асимптоты графика функции.

 Самый простой вид зависимости одной переменной от другой - линейная зависимость, поэтому из всего множества функций выделяют функции, имеющие асимптоты, т.е. функции, графики которых при удалении точки от начала системы координат сколь угодно близко приближаются к некоторой прямой.

 Опр.8.6.1. Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов  или  равен  или .

Из этого определения следует, что прямая  может быть вертикальной асимптотой графика функции  только в случае, когда точка  - точка разрыва второго рода этой функции.

Опр.8.6.2. Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции , если функцию  можно представить в виде , где  при  (или , или ).

Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота, соответствующая случаю . Из определения наклонной асимптоты следует, что прямая  будет горизонтальной асимптотой графика функции , если при  (или , или ) функция .

График функции может приближаться к своей асимптоте, оставаясь


выше её ниже её колеблясь вокруг её

Если условия определения наклонной (или горизонтальной) асимптоты выполняются при , будем называть эту асимптоту односторонней левой (или левосторонней, или просто левой); если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту односторонней правой (или правосторонней, правой); в случае, если эти условия выполняются при , будем называть асимптоту двусторонней (или просто асимптотой, не уточняя направления).

Условия существования наклонной (и, как следствие, горизонтальной) асимптоты даёт следующая теорема, которую мы сформулируем и докажем для случая   (остальные случаи рассматриваются аналогично).

 Теор.8.6.1. Для того, чтобы прямая  была наклонной асимптотой графика функции  при , необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

.

ПРИМЕР. Задано высказывание , , здесь   – действительные числа. Прочитать высказывание, выяснить его смысл, установить – истинно оно или ложно, построить отрицание высказывания.

 Док-во. Необходимость. Пусть прямая  - наклонная асимптота графика функции  при , т.е., согласно определению, , где  при . Тогда . Переходим к пределу при . , следовательно, . С другой стороны, в этом случае , и так как существует предел правой части этого равенства, то существует и предел левой части, и .

 Достаточность. Пусть два указанных предела существуют, тогда по теор.4.4.9 (о связи функции с её пределом) ( - БМ при ), т.е. прямая  - действительно наклонная асимптота графика функции  при .

 Примеры: найти асимптоты графиков функций

.

Так как , , прямая  - вертикальная асимптота графика этой функции. Для определения наклонных асимптот ищем : . Таким образом, если наклонные асимптоты существуют, то . Находим : . Итак, прямая  - двусторонняя наклонная асимптота. График функции и её асимптоты приведены на рисунке справа.

. Функция определена при , поэтому вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты:

.

Из последнего выражения следует необходимость отдельного рассмотрения случаев  и . При  , поэтому

. При   , . Итак, прямая  - асимптота функции при ; прямая  - асимптота функции при .


Примеры вычисления производной