Математика - множества, функции, пределы, производная

Определенный интеграл.

11.1. Определение.

 11.1.1. Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке    задана непрерывная функция , принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :  при . Требуется определить площадь   трапеции , ограниченной снизу отрезком , слева и справа - прямыми  и , сверху - функцией .

 


Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание  фигуры точками  на  частей символом  будем обозначать длину -го отрезка: . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение  (это произведение равно площади прямоугольника  с основанием  и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим : .

 равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками , ; на левом рисунке эта площадь заштрихована.  не равна искомой площади , она только даёт некоторое приближение к . Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество  отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков  стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при  (слева) и при   (справа)). При  разница между  и  будет тоже стремиться к нулю, т.е. 

  .

 11.1.2. Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке   задана функция . Разобьём отрезок  произвольным образом на  частей точками ; длину -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков  выберем произвольную точку  и составим сумму .

Сумма   называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм  при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка  на части , ни от выбора точек , то функция  называется интегрируемой по отрезку , а этот предел называется определённым интегралом от функции  по отрезку  и обозначается

 .

 Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа  и  - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: . [an error occurred while processing this directive]

 В этом определении предполагается, что . Для других случаев примем, тоже по определению:

 Если , то ; если , то .


Примеры вычисления производной