Основные правила дифференцирования

Математические теоремы, их виды и логическая структура.

2.3.1. Теоремы прямая, обратная, противоположная.

 Простейшая форма математической теоремы такова: "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство В(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р1, Р2, Р3, …}- множество точек плоскости. Тогда формулировка теоремы Пифагора будет такова:

{" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) ÐР1Р2Р3=p/2 Þ | Р1Р2| 2+| Р2Р3| 2=| Р1Р3| 2}.

  Исходя из утверждения "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) можно построить новые утверждения:

 "хÎХ (В(х)ÞА(х)) (обратная теорема);

 "хÎХ (ùА(х)Þ ùВ(х)) (противоположная теорема);

 "хÎХ (ùВ(х)Þ ùА(х)) (теорема, противоположная обратной).

Сформулируем эти утверждения для теоремы Пифагора:

обратная теорема: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) | Р1Р2|2+| Р2Р3|2=| Р1Р3|2 Þ ÐР1Р2Р3=p/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне - прямой) - верное утверждение;

противоположная теорема: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) ÐР1Р2Р3¹p/2 Þ | Р1Р2|2+| Р2Р3|2¹| Р1Р3|2} (если какой-либо угол треугольника не прямой ,то квадрат противолежащей стороны не может быть равен сумме квадратов остальных сторон - верное утверждение (следствие теоремы косинусов));

теорема, противоположная обратной: {" (Р1ÎП, Р2ÎП, Р3ÎП) | Р1Р2|2+| Р2Р3|2¹| Р1Р3|2 Þ ÐР1Р2Р3¹p/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника не равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне, не может быть прямым) - верное утверждение.

Однако если верна прямая теорема, это не означает, что всегда будут верны все остальные. Рассмотрим утверждение: "если десятичная запись натурального числа заканчивается нулем, то это число делится на пять без остатка" . Обратная теорема ("если натуральное число делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа заканчивается нулем")  - ложна (число х=15 делится нацело на 5, но не оканчивается нулём). Противоположное утверждение "если десятичная запись натурального числа не заканчивается нулем, то это число не делится на пять без остатка" () тоже ложно (опровергающий пример - х=15). Утверждение, противоположное обратному: "если натуральное число не делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа не может заканчиваться нулем"  - истинно. Докажем общее утверждение

Теор. 2.3.1. Теоремы прямая и противоположная обратной, обратная и противоположная попарно либо обе истинны, либо обе ложны.

Док-во. Составим таблицу истинности для высказываний А, В и требуемых импликаций:

А

В

ùА

ùВ

АÞВ

ùВÞùА

ВÞА

ùАÞùВ

 Эта таблица является, по существу, подмножеством таблицы Свойства логических операций раздела 2.1. Высказывания и действия над ними. Из неё следуют

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

эквивалентности (АÞВ)Û( ùВÞùА); (ВÞА) Û( ùАÞùВ), которые и требовалось доказать.


Предел функции одной переменной