Курс лекций по физике Гравитация Математический маятник

Преобразования Лоренца

Так как преобразования Галилея для достаточно больших скоростей приводят к выводам, противоречащим экспериментам, то появилась необходимость в нахождении других преобразований координат и времени, которые правильно описывают опытные данные. Подобные преобразования называются преобразованиями Лоренца. Они были использованы Эйнштейном, создавшим специальную теорию относительности, которая представляет собой физическую теорию пространства и времени для случая пренебрежимо малых гравитационных полей. В основе специальной теории относительности лежат два принципа: 1. Принцип относительности Эйнштейна: уравнения, выражающие законы природы, ковариантны по отношению к преобразованиям Лоренца 2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источников света и, следовательно, одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Ковариантность уравнений относительно некоторого преобразования означает неизменность их общего вида до и после соответствующего преобразования, хотя величины, входящие в эти уравнения, могут и меняться.

Эйнштейн распространил механический принцип относительности Галилея на все без исключения физические явления, а преобразования Галилея заменил преобразованиями Лоренца.

В дальнейшем будет показано, что скорость света в вакууме (обозначается символом «») является предельной, т.е. никакое воздействие тел друг на друга не может распространяться со скоростями, превышающими . Существование предельной скорости приводит к тому, что пространство и время утрачивают приписывавшуюся им в ньютоновской механике обособленность, независимость друг от друга и оказываются взаимосвязанными, образуя единое четырехмерное пространство-время. Понятие о четырехмерном пространстве-времени впервые было введено Минковским.

Согласно Минковскому «точечное» событие (например, распад элементарной частицы или нахождение этой частицы в фиксированный момент времени в фиксированной точке «обычного» пространства) характеризуется 4-мя величинами: координатами  и временем . Такое событие, отображенное в 4-х мерном пространстве-времени, называется мировой точкой. С течением времени мировая точка изменяет свое положение в пространстве-времени, описывая траекторию, называемую мировой линией. Даже если частица неподвижна в обычном пространстве-времени, ее мировая точка перемещается вдоль прямолинейной мировой линии, параллельной оси .

При переходе к другой инерциальной системе отсчета значения координат   и времени  частицы изменяются и становятся равными . В общем случае преобразования имеют вид:

;

; .  (12.20)

Общий вид функций  определяется общими свойствами пространства-времени. Главными свойствами пространства в инерциальных системах отсчета являются его однородность и изотропность. Время обладает свойством однородности.

Из однородности пространства и времени следует, что функции  должны быть линейными. Действительно, рассмотрим бесконечно малое изменение , т.е. разность координат  2-х бесконечно близких точек. В не штрихованной (условно неподвижной) системе им будут соответствовать бесконечно малые разности координат  и времени . Согласно формуле полного дифференциала:

. (12.21)

В силу однородности пространства и времени эти соотношения должны быть одинаковыми для всех точек пространства и для любых моментов времени. А это означает, что величины , ,  не должны зависеть от координат и времени, т.е. являются постоянными. Поэтому функция  имеет следующий вид:

, (12.22)

где  - постоянные, не зависящие от координат и времени величины. Таким образом функция  является линейной функцией своих аргументов. Аналогично доказывается линейность функций .

Получим явный вид для . Пусть имеются инерциальные системы отсчета   и  (см. Рис. 12.2). Система  движется со скоростью  вдоль оси , совпадающей с осью , относительно системы . При указанном на Рис. 5.2 направлении координатных осей плоскость  совпадает с плоскостью , а плоскость  совпадает с плоскостью . Отсюда вытекает, что, например, координаты и   должны обращаться в нуль одновременно, независимо от значений других координат и времени. Это возможно лишь при условии:

, (12.23)

где, вследствие линейности уравнений,  - постоянная величина. В виду равноправности систем  и   по отношению к координатам   и  (координаты  и  равноправны по отношению к движению вдоль оси ), обратное преобразование должно иметь вид:

 (12.24)

с тем же значением , что и при прямом преобразовании. Перемножив оба соотношения, найдем, что , откуда . Для одинаково направленных осей надо взять . Окончательно:

. (12.25)

Аналогично имеем:

. (12.26)

Из 2-х последних соотношений вытекает, что  и  не зависят от  и . Справедливо и обратное:  и  не зависят от  и . Соответственно,  и  не могут зависеть от  и . Это означает, что  и  являются линейными функциями только  и .


Момент инерции