Курс лекций по физике Гравитация Законы Кеплера

Момент инерции

Найдем момент импульса  частицы твердого тела относительно оси вращения , т.е. проекцию вектора  на эту ось:

. (10.19)

Так как радиус-вектор   частицы, имеющей массу , перпендикулярен скорости  этой частицы (), то

 (10.20)

и тогда

, (10.21)

где  - расстояние массы  от оси вращения  (см. Рис. 10.4). Взаимосвязь линейной и угловой   скоростей частицы имеет вид: . Следовательно,

. (10.22)

 Для системы частиц:

  (10.23)

.

 Полученное выражение не зависит от положения на оси вращения точки , относительно которой определяется момент импульса системы (тела). Величина

, (10.24)

равная сумме произведений элементов масс на квадрат их расстояния до некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно этой оси. Всякое тело независимо от того покоится оно или вращается, имеет момент инерции относительно любой оси. Перепишем выражение для момента инерции тела относительно оси:

, (10.25)

где  - момент инерции тела относительно оси . В этом случае можно записать другую формулировку для основного уравнения динамики вращательного движения:

. (10.26)

В частном случае постоянного момента инерции  и учитывая определение углового ускорения

, (10.27)

имеем:

 (10.28)

- уравнение динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси. Здесь введено обозначение: . Полученное уравнение аналогично проекции   закона Ньютона на ось  (динамика поступательного движения): . В динамике вращательного движения роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения – угловое ускорение и, наконец, роль результирующей силы – суммарный момент внешних сил.

 Из определения момента инерции

 (10.29)

следует, что эта величина аддитивна. Кроме того, можно записать:

, (10.30)

где  - плотность тела в области, в которой взят объем ;  - расстояние этого элементарного объема от оси, относительно которой вычисляется момент инерции. Если тело однородно, то

. (10.31)


Кинетическая энергия и работа