Курс лекций по физике Гравитация Законы Кеплера

Гармонический осциллятор

Механическую систему, закон движения которой описывается уравнением

,  (11.31)

называют одномерным классическим гармоническим осциллятором или сокращенно классическим осциллятором. Классический осциллятор осуществляет гармонические колебания вокруг положения устойчивого равновесия. Такие осцилляторы называют гармоническими. Очевидно, все результаты, полученные предварительно для гармонических колебаний, справедливы также и для гармонического осциллятора.

 Найдем импульс гармонического осциллятора. По определению импульс   осциллятора массой  выражается формулой

, (11.32)

то есть

. (11.33)

Динамическое состояние осциллятора в любой момент времени характеризуется смещением   из положения равновесия и соответствующим значением импульса . Выразим  как функцию . Для этого перепишем уравнение для смещения и импульса в виде

 и . (11.34)

 Чтобы исключить время  из этих уравнений, возведем каждое из них в квадрат и сложим их:

.  (11.35)

Это выражение является уравнением траектории гармонического осциллятора в координатной плоскости . Координатную плоскость  принято называть фазовой плоскостью, а зависимость  - фазовой траекторией. Фазовая траектория гармонического осциллятора имеет форму эллипса из полуосями  и . Каждая точка фазовой траектории изображает динамическое состояние осциллятора в некоторый момент времени.

С изменением времени точка, которая изображает состояние осциллятора (ее называют изображающей точкой), перемещается по фазовой траектории и за один период осуществляет полный обход замкнутой траектории. Перемещение изображающей точки происходит по часовой стрелке. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим состояние осциллятора в момент времени , когда фаза колебания

  ( - целое число). (11.36)

 В этот момент времени  и . В последующие моменты времени  будет уменьшаться, а  будет приобретать отрицательные значения, которые увеличиваются по модулю. Следовательно, изображающая точка двигается по часовой стрелке.

Отдельная фазовая траектория изображает некоторое конкретное движение осциллятора. Если необходимо общее представление обо всех возможны движения осциллятора, то на фазовой плоскости строят всю совокупность фазовых траекторий. Такую совокупность фазовых траекторий называют фазовым портретом осциллятора.


Кинетическая энергия и работа