Решение задач по физике примеры

Общие свойства гармонических колебаний.

Точка совершает гармонические колебания, если её отклонение от положения равновесия зависит от времени по закону:

x(t) = A×cos(wt + j0). (1.1)

Параметр А называется амплитудой, w - циклической (круговой) частотой, (wt + j0) – фазой, j0 – начальной фазой колебаний. Величина T = 2p/w называется периодом колебаний.

 Дифференцируя (1.1) по времени, получаем зависимости скорости колеблющейся по гармоническому закону точки и её ускорения от времени:

  (t) = - Aw sin(wt + j0) = Aw cos(wt + j0 + p/2) (1.2)

  (t) = - Aw2 cos(wt + j0) = Aw2 cos(wt + j0 + p). (1.3)

Из соотношений (1.2) и (1.3) следует, что максимальная величина скорости колебательного движения (амплитуда скорости) равна Vmax = Aw, а ускорение точки в любой момент времени пропорционально её отклонению от положения равновесия

 (t) = - w2×x(t). (1.4) Прохождение сигнала через параметрические цепи первого порядка. Напомним, что к параметрическим цепям первого порядка относятся цепи, содержащие один энергоемкий элемент (индуктивность или емкость) и резистивный элемент, причем хотя бы один из элементов цепи является параметрическим. Уравнения, описывающие процессы в такой параметрической цепи, сводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка с переменными коэффициентами и имеют следующий вид

Таким образом, если при решении какой-то физической задачи некоторая величина (например, координата тела в механике или заряд конденсатора в электричестве) окажется пропорциональной ее второй производной по времени с обратным знаком, то эта величина зависит от времени по гармоническому закону (1.1), причем коэффициент пропорциональности между величиной и ее второй производной определяется частотой собственных колебаний  .

При решении конкретной физической задачи собственная частота гармонических колебаний определяется только параметрами осциллятора (такими, как масса колеблющегося тела, коэффициент жесткости пружины, емкость конденсатора, индуктивность катушки в колебательном контуре и т.п.). Амплитуду колебаний А и начальную фазу j0 получают, используя два начальных условия – начальное смещение от среднего положения и начальную скорость точки. Следует иметь в виду, что при электрических колебаниях в колебательном контуре аналогом смещения является заряд конденсатора; соответственно, скорости точки – сила тока в цепи.

 Решим несколько задач, которые помогут лучше понять общие свойства гармонических колебаний.

 Задача

1.1. Зависимость смещения точки по оси Y (в метрах) от времени показана на рисунке. Опишите эту зависимость уравнением y = A×cos(wt + j0), подобрав значения параметров А, w и j0.

Решение

 Из рисунка видно, что максимальное отклонение точки от положения равновесия и, следовательно, амплитуда колебаний А = 1 м. Период колебаний T = 2 c, отсюда w = 2p/T = p c-1. Наконец, в начальный момент времени (t = 0) y = cosj0 = 0. Это может быть при j0 = p/2 и j0 = 3p/2. Однако начальная скорость, как это видно из рисунка, V0 < 0. Поскольку V0 = –Aw×sinj0, а sinp/2 > 0, правильным является именно значение j0 = p/2.

 Ответ: y = cos(pt + p/2) м.

Пружинный маятник — это грузик, подвешенный на пру-жине . После отклонения от положения равновесия он будет совершать вертикальные гармонические колеба-ния, если упругая пружина такова, что сила деформации пропорциональна величине удлинения пружины (, где — коэффициент упругости).
Задачи для самостоятельного решения